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1、小学数学中培养学生推理能力的教学策略【课程简介】 小学数学中培养学生推理能力的教学策略这一专题从专家和一线教师的视角对“如何在小学数学教学中培养学生推理能力策略”进行了深入的剖析,从“推理能力在数学课程标准中的具体描述、在数学课堂教学中培养学生哪些推理能力,以及具体做法，培养学生推理能力策略等四个方面进行了详尽的阐述。尤其通过具体的实例帮助一线教师认识如何在数学课堂教学中培养学生的推理能力.通过此专题将对教师教学观念的转变,教师专业化的发展起到促进作用。【学习要求】1。 知道“推理能力”在数学课程标准中的具体描述.知道归纳推理、演绎推理和类比推理. 2。 能对课堂教学实例中“推理能力培养的做法
2、与效果进行分析与评价; 3。 探索一些数学教学中培养学生推理能力的策略，并运用与课堂教学.教师团队【主讲教师】周爱东： 北京市特级教师.市先进工作者、经济技术创新标兵，中央教科所课题科研先进个人，中国数学会先进个人。 指导教师参加市小学专任教师基本技能大赛，取得学科高年级组团体第一名。 指导教师市评优课五节,三节获一等奖。市公开课十节。篇教案在市级以上刊物发表。五人获全国评优课一、二等奖，四节课由中央广播电视大学音像出版社出版。人评为市骨干。 参加中央教科所科研课题的研究，顺义区评为全国先进集体,在年会上做了经验交流。 五篇论文获市级以上奖,三十余篇文章发表在数学教学报和中小学数学杂志上。参与
3、编写数学思维训练的论著和电子出版物套。 【互动教师】 孙宝香： 北京市顺义区教育研究考试中心小学数学教研员，北京市数学学科带头人,北京市基础教育课程改革先进个人，北京市优秀教师.指导教师参加市小学专任教师基本技能大赛，取得学科高年级组团体第一名.多次指导教师参加全国、北京市评优课获奖,先后有多篇论文获全国、北京市一、二等奖，在报刊、杂志上发表多篇文章.鲁静华： 北京市顺义区光明小学数学教师，顺义区小学数学骨干教师。先有后 4 篇论文案例发表在教学案例等杂志上,有 5 篇案例入选小学数学课堂教学小策略实用精品库一书，并有多篇论文获国家、市、区级一、二、三等奖.承担了“教育部 2007 年远程培训
4、项目小学数学培训课程研制工作和“中国教师培训网”的示范课和单元备课指导工作，并多次承担市、区级研究课. 陈春芳: 北京市顺义区石园小学教师.被评为中国教育学会“成长中的名师”、 北京市紫禁杯优秀班主任,北京市顺义区数学骨干教师，获得得北京市青年教师基本功展示一等奖。先后有多篇论文获挂国家、北京市一、二等奖。多篇论文在报刊、杂志上发表。专题讲座小学数学中培养学生推理能力的教学策略 周爱东 顺义区教育研究考试中心小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是课标指定的一个重要教学内容。在课标（修改稿）的第三页倒数第一行,就有明确的规定：“ 在数学教学中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何
5、直觉、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”课标还具体地作出了解释“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。在小学阶段，主要学习合情推理,即归纳推理和类比推理。而归纳推理又多表现为“不完全归纳推理”. 一、知识结构、逻辑推
6、理及相互间的关系在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早就指出:“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义.数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。 “数学作为一种演绎系统，它的重要特点是,除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的”。这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联.另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识. 例如：在教学正方形面积计算公式时 ， 我们通过演绎推理得到的： 长方形面积长宽
7、正方形长宽 因此得出正方形面积边长边长 数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理. 二、逻辑推理在教与学过程中的应用 根据奥苏贝尔的认知同化理论,学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握,沟通新旧知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是新旧知识建立下位联系;二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义.这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。 1. 下位关系 演绎推理2. 上位关系 归纳推理3。 并列关系 类比推理 （一）下位关系演绎
8、推理 如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则， 由一般性的前提推出特殊性的结论. “演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”.为了得以关于某一对象的具体 知识，先要找出这一对象的类(最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象. 例如:由四条线段围成的图形叫做四边形。 长方形、正方形、平行四边形、梯形都是由四条线段围成的图形。那么这些图形都是四边形。 再如： 两种量分别用 x 和 y 表示，若 y/ x k （一定),则 x 和 y 是成正比例的量。 同圆中周长比半径 2
9、（一定). 同圆中周长和半径是成正比例的量. 当学生理解这种推理的顺序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确,并学会使用这样的语言： 只有两个因数（ 1 和它本身）的数是质数； 101 只有两个因数； 101 是质数. 那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。 在知识层面中，这种类属过程的多次进行，就导致知识不断产生新的层次，其逻辑结构就越加严密，新的知识也就会不断分化和精确化，就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构,用演绎 推理的手段组织学习过程，不但能培养学生的思考方法，理解内容的逻辑结构,还能提高学生的模式辨认能力 ,缩短推理过程，快速找到解题途径。 比如
10、:运用乘法分 配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能实现简算. a c b c （ a b ） c 对比题: 99 99 99 1 99 （99 1）=9900 99 99 99 19 86 14 26 19 （ 86 14 ) (二）上位关系 - 归纳推理 如果原有认识结构已形成几个观念，要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识，即新旧知识建立上位联系时，那么适当运用归纳推理的规则，可由特殊的前提推出一般性的结论.当需要研究某一对象集时，先要研究各个对象(情况），从中找出整个对象集所具有的性质，这就是归纳推理.归纳推理的基础是观察和试验，是从具体
11、的、特殊的情况过渡到一般情况（结论、推论）. 例如：在学习两个奇数相加和是偶数时，先让学生列举出多个两个奇数相加的例子，最后得出两个奇数相加和是偶数的结论。 1 和 2 互质， 1 和 3 互质， 1 和 4 互质 1 和任意一个自然数互质。 2 和 3 互质, 3 和 4 互质, 4 和 5 互质 相邻的两个自然数互质。 3 和 5 互质， 5 和 7 互质， 7 和 9 互质 相邻的两个奇数互质。 教材中关于概念的形成，运算法则和运算定律、性质得出，一般是通过归纳推理得到的。运用归纳推理传授知识时,要根据学生的实际经验，选取典型的特例，并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。又要用这个“
12、一般结论”，去解决具体特例。在教与学的进程中，归纳和演绎不是孤立地出现的，它们紧密交织在一起。 （三)并列关系-类比推理 如果新旧知识间既不产生从属关系,又不能产生上位关系,但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类 比关系,则新旧知识间可产生并列关系.那么可以运用类比推理。 教材中,商不变性质和分数基本性质,乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等,学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时，既不能以上位演绎推理到下位,又不能以下位归纳推理到上位，只能采用类比推理 。如五年级学习“一辆卡车平均每小时行 40 千米 ， 0.3 小时行了多少千米？时，学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。所以
13、，教学中一般用整数乘法中的数量关系来类推。 新旧知识的三种联系与三类推理相呼应,不是一种巧合，是知识结构本身科学的逻辑结构使然.正确地运用逻辑推理的原则可以将学生的认识结构分化的程度提高，教师会不断注意新知识的稳定性、清晰性，新知识的固定点、生长点.数学教学更富有科学意义。 三、在小学数学教学中培养学生推理能力的策略 （一)新知识转化旧知识的学习中，沟通的策略. （二）习得新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略. (三）在学习新知时,关键处设问引发思考点拨思路的策略。 （四)设计开放练习，培养学生推理能力的策略。 （五）构建可操作的教学模式,培养学生推理能力的策略。 （一）新知识转化旧知识的
14、学习中，沟通的策略 1 立体图形的体积计算，分为两个阶段，长、正方体体积；圆柱、圆锥的体积.学习了圆柱体积计算之后，可以把长方体,正方体,圆柱都看成是柱体，他们的体积都可以用底面积乘高来计算。 如图，它们的体积公式可以统一成( V sh )。 2 学习了小数除法,要沟通整数除法中有余数的除法，和小数除法的关系。 例如：教师设计的开放练习； 甲数除以乙数的商是 12 ,余数是 8 ,如果商用小数表示是 12.5 ，那么甲数是（ ），乙数是（ ）. （二）学了新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略 学习了分解质因数之后，可以深化整除的概念. A 2 3 5 ； B 2 3 5 因为我们知道 B
15、包含 A 的所有因数,那么 B 是 A 的倍数, A 是 B 的因数。 质数、合数的概念,是依据一个数的因数个数多少来分类建立概念的。学习了分解质因数的概念后，学生又认识到,任何一个合数都可以表示成几个质因数相乘的形式。教师应及时深化概念。从新的角度看旧知。 （三)在学习新知时，关键处设问引发思考点拨思路的策略 1 关键处点拨： 案例：商不变的性质教学片段. 首先是计算： 8 0 4= （ ）（ ）学生都能找到一个正确答案,方法无一例外都是先算出商 20 ,然后想哪两个数相除商是 20 ,学生很难将两个算式中的被除数和除数建立起联系. 第二是观察：我写出一组算式： 20 2=10 40 4=10 80 8=10 , 让学生说说发现了什么？ 学生都发现了商没变，被除数和除数变了， 具体说说怎样变了？有的学生说被除数增加了,除数也增加了，有的学生说被除数扩大了,除数也扩大了，学生习惯上从上向下观察，从直观上感知被除数和除数发生了变化，增加了或扩大了,但对于被除数和除数变化之中的内在联系却很难发现。 如何让学生主动探求被除数和除数的变化规律,并有所发现呢?我通过对情
