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1、重心相对位置不变性的数学证明百度ID：知不道42 平行力系中心.重心.自由度刚体自由度：由于空间刚体在空间的任意运动可以分为平动和转动，分别为沿x，y ，z轴的平动和绕x，y ，z轴的转动证明:由于刚体任意运动可能既包含转动和平动，先考虑刚体作转动或者平动，然后在考虑同时包含平动和转动设有一任意形状的物体在空间中，建立如图所示坐标系，且此物体在此坐标系初始时刻中的重心为(Xc ，Yc ，Zc)1 当物体在空间中仅做平动时将物体空间运动分为沿x，y，z轴的平动，设物体沿x，y，z轴的位移分别为X1,Y1,Z1，即物体上各点的位移皆为X1,Y1,Z1。可知此时物体原重心点（Xc， Yc， Zc）移
2、动后坐标为（Xc+X1，Yc+Y1，Zc+Z1）由重心公式得：初始重心：Xc=GiXiGi ,Yc=GiYiGi ,Zc=GiXiGi刚体运动后重心位置：Xc=Gi(Xi+X1)Gi ,Yc=Gi（Yi+Y1)Gi ,Zc=Gi(Zi+Z1)Gi且Xc=Gi(Xi+X1)Gi= GiXiGi+GiX1Gi=Xc+X1Yc=Gi（Yi+Y1)Gi=GiYiGi+GiY1Gi=Yc+Y1Zc=Gi(Zi+Z1)Gi=GiZiGi+GiZ1Gi=Yc+Z1结论：当刚体在空间坐标系中任意移动(不包含转动)时，刚体重心(Xc,Yc,Zc)在物体中相对位置未发生改变。2 当物体在空间中仅做转动时例：设此刚
3、体绕Z轴转动，初始重心为(Xc ，Yc ，Zc)由刚体绕Z轴转动任意角度 ，刚体各位置Z方向坐标不发生变化即Zc=Zc重心在XoY平面的投影如图所示，由几何关系得：Xc=rcos，Yc= rcos.刚体转动后原重心位置坐标:Xc=rcos(+)=rcoscos-rsinsin=Xc*cos-Yc*sinYc= rsin(+)=rsincos+rcossin=Yc*cos+Xc*sinZc=Zc而由重心位置公式计算转动一定角度后重心坐标Xi:刚体第i部分X轴坐标，Yi:刚体第i部分Y轴坐标i:刚体第i部分与y轴正方向夹角且Xi=cosi ,Yi=sini原Xc=GiXiGi=Gi*ri*cosi
4、Gi , Yc=GiYiGi=Gi*ri*siniGi转动角度后，各部分参数分别表示为Xi，Yi由重心坐标公式Xc=Gi*ri*cos(+)Gi=Gi*ri*(cos*cos-sin*sin)Gi=Gi*ri*cos*cosGi - Gi*ri*sin*sinGi=Gi*Xi*cosGi - Gi*YisinGi = Xc*cos-Yc*sin由Z坐标不变Z=Z:同理可求Yc=Xc*sin + Yc*cos由Xc=Xc ,Yc=Yc,Zc=Zc=Zc故刚体绕Z轴旋转任意角度后，重心相对位置不变。同理可证：刚体绕X轴，Y轴转动后重心相对位置不变化结论：当刚体在空间坐标系中做任意运动时，可看做平动和转动的叠加，又由刚体做平动或转动时重心相对位置不发生变化，故叠加后重心相对位置仍不变。 /由于水平有限，错误之处，敬请批评指正。
