等差数列的性质.docx

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1、等差数列的性质篇一：等差数列的性质教案 2.2.2等差数列的性质 教学设计 教学目标 1知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方 法，了解等差数列与一次函数的关系。 2过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思 想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。 3情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力 的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题 教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相 关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同 角度看问题

2、，解决问题，学会研究问题的方法。 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学方法：启发引导，讲练结合 学法：观察，分析，猜想，归纳 教具：多媒体 教学过程： 一、复习引入 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即anan?1=d ，（n2，nN?），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 2等差数列的通项公式： an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d) 3有几种方法可以计算公差d d=anan?1 d=an?a1a?am d=n n?1n?m 二、讲解新课： 问题：如果在a与b中

3、间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-a=b-A ，即：A? 反之，若A?a?b 2a?b，则A-a=b-A 2 a?b?a,b,由此可可得：A?2 a?b是a,A,b成等差数列的充要条件 2 定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b也就是说，A= 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末如数列：1，3，5，7，9，11，13?中 5是3和7的等差中项，1和99是7和11的等差中项，5和13看来，a2?a4?a1?a5,a4?a6?a3?a7 性质1：在等差数列?an?中，若m+n=p+q，则，am?an?ap?aq 即 m+n=p

4、+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q N ) 证明：am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(n?m)d?2d, ap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q)d?2d, ? am?an? ap?aq. 三例题讲解。 例1在等差数列an中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手? 解： an 是等差

5、数列 a1+a6=a4+a3 =9?a3=9a4=97=2 d=a4a3=72=5 a9=a4+(94)d=7+5*5=32 a3 =2, a9=32 例2 等差数列an中，a1+a3+a5=12, 且 a1a3a5=80. 求通项 an解：a1+a5=2a3 a1?a3?a5?12?3a3?12?a3?4?a1a5?20 ?a1a3a5?80a?a?85?1 ?a1=10, a5=2 或 a1=2, a5=10 d=a5?a1 d=3 或3 5?1 an=10+3 (n1) = 3n 13 或 an=2 3 (n1) = 3n+5 例3已知数列an的通项公式为an?pn?q，其中p,q为常数

6、，那么这个 数列一定是等差数列吗？ 分析：判定an是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an?an?1(n?1)是不是一个与n无关的常数。 解：取数列an中的任意相邻两项an与an?1（n1）,求差得， an?an?1=(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+q) =p 它是一个与n无关的常数。所以an是等差数列。 思考 这个数列的首项和公差分别是多少？ 探究 （1）在直角坐标系中，画出通项公式为an?3n?5的数列的图象，这个图象有什么特点？ （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列an?pn?q的图象与一次函数y=px+

7、q的图象之间有什么关系？ 四、巩固练习： 1.若等差数列的前三项依次是m1?1,65,1，求m的值。 mm 2.已知等差数列 an中，a2?a6?a10?1,求a3?a9。五、小结 本节课学习了以下内容： a?b?a,b,成等差数列 1A?2 2在等差数列中， m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q N ) 3若数列an的通项公式为an?pn?q的形式，p,q为常数，则此数列为等差数列。 六布置作业 名师一号：8,9，11 探究：1.设 p, q 为常数，若数列 an，bn均为等差数列， 则数列pan?qbn，akn,kan为等差数列 ，公差为多少？ 2.若an是等差

8、数列，公差为d.则ak,ak?m,ak?2m,?(k,m?N?)组成公差为md的等差数列。篇二：等差数列的性质总结 1.等差数列的定义式：an?an?1 2等差数列通项公式： an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an a?am推广： an?am?(n?m)d从而d?n； n?m 3等差中项 （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：A? （2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?2 4等差数列的前n项和公式： n(a1?an)n(n?1)d1Sn?na1?

9、d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222 （其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差数列性质总结 （n?2）； ?d（d为常数）?2n?1?a1?a2n?1?2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列 （2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?

10、an?2 数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。 6等差数列的证明方法 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列 等差中项性质法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?) 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： 一般可设通项an?a1?(n?1)d 奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a

11、?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）； 偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d） 8.等差数列的性质： （1）当公差d?0时， 等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d； n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Sn?na1?222 （2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap. 注：a1?an?a2?a

12、n?1?a3?an?2?， （4）若?an?、?bn?为等差数列，则?an?b?，?1an?2bn?都为等差数列 (5) 若an是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列 （6）数列an为等差数列,每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,?)仍为等差数列 （7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和 。当项数为偶数2n时， S奇?a1?a3?a5?a2n?1?n?a1?a2n?1?nan 2 n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?a2n?nan?1 2 S偶?S奇?nan?1?nan?

13、n?an?1?an?nd S偶 S奇?nan?1an?1 ?nanan 。当项数为奇数2n?1时，则 ?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1?S奇?(n?1)an+1 ?S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1? （其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） （8）bn的前n和分别为An、Bn，且 则An?f(n)， nan(2n?1)anA2n?1?f(2n?1). nn2n?1 （9）等差数列an的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n?m?n? an?m,am?n,则an?m?0 (10)求Sn的最值 法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 ?a?0即当a1?0，d?0， 由?n可得Sn达到最大值时的n值 ?an?1?0 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 ?an?0即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn达到最小值时的n值 a?0?n?1 或求?an?中正负分界项 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程； 巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，