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1、【在立体几何教学中表达化归思想】立体几何解题思想 ：本文根据化归的数学思想方法探讨了平面几何与立体几何之间的相互关系。 关键词：化归、方法、应用、教学。 我们知道，在立体几何中，线面关系是根底，既是重点，也是难点。这是因为构成空间图形的根本元素是点、线、面，于是研究空间图形的性质，最终归结为研究空间点、线、面的位置关系，在没有得到解决某些空间问题的具有规律性的统一模式(如公式、命题)时，解决这些空间问题的出路唯有“转化可循，这是因为空间点、线、面的位置关系，经过假设干次转化，通常可转化为同一平面内的点与线的位置关系。例如：（A）两异面直线间距离可转化为直线与平面或平面与平面间距离，最后又转化为
2、同一平面内两点间距离.(B) 两异面直线所成角，直线与平面或平面与平面所成角最终都可转化为同一平面内的角的问题。所以“化归的思想要自始至终贯穿在整个立体几何教学过程中，要使每个学生清楚的意识到研究立体几何问题的过程，实质就是研究“化归的过程。 化归思想是一种重要的数学思想。所谓化归，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化。一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将困难的问题转化为容易的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，进而到达最终目的。 “全等与“相似是平面几何中的重要内容，立体几何中的等积与比值问题通常化归为平面几何中的全等与相似问题，所以“全等与“相似在立体几
3、何中也举足轻重，如下例： 例 正三棱锥PABC的高为PO，M为PO中点，过AM作与底边BC平行的截面AEF，求截面AEF把三棱锥分成两局部体积之比。 分析：在正三棱锥PABC中，因为A点到面PBC距离为定值h，由BC/面AEF知BC/EF， 所以VAPEFVAEFCB=13SPEFh13S梯形EFCBh=SPEFSPBC-SPEF， 因为SPEFSPBC=PH2PG2。 故只须求PHPG。于是可考虑，利用平几中的相似三角形及有关定理解之。 在平面PAG中，过O作OQPG交AH于Q，因为M为PO中点，所以PMHOMQ，所以PHOQ，又AOQAGH，O为ABC重心，故PHHG=OQHG=AOAG=
4、23，所以PHPG=25，所以 SPEFSPBC=PH2PG2=425，所以SPEFS梯形EFCB=425-4=421=VAPEFVAEFCB即为所求。 上例同时涉及到全等与相似，解题策略中也充分表达了立体几何平面化的思想，循着逆向思维的方式，对某些平面几何问题，我们亦可考虑平面几何立体化的解题路子。如下例： 例 H为ABC垂心，D、E、F分别为BC、CA、AB中点，以H为圆心的圆交DE于P、Q，交EF于R、S，交FD于T、V。求证：CPCQASARBTBV。 证：将图3中AEF和CED及BDF分别沿EF、ED、FD折起，因为E、F、D分别为AC、AB、BC中点，故折起后，A、B、C三点可重合
5、于同一点，设为W，组成四面体WEFD（图4）. 在图3中，因为H为ABC垂心，所以CHAB，又因为ED为ABC中位线，所以CHED。设垂足为M，折成四面体WEFD后，便有WMDE，HMDE，(如图4), 故DEWH，同理FDWH，所以WH面DEF。因为H为圆圆心，所以W与H构成圆锥WH。因为P、Q、R、S、T、V都在H上，根据圆锥母线长相等的性质便知：WPWQWRWSWTWV，将图4恢复成图3,即有：CPCQASARBVBT。 例假设用纯平面几何方法处理，非常困难，将其立体化后，居然迎刃而解，到达了意想不到的效果，用立体几何的知识解决平面几何问题的思路进一步揭示了立体几何与平面几何之间的关系。 立体几何研究对象从平面图形拓展到空间图形。其中，平面起着很重要的桥梁作用，在平面几何中，我们研究的所有元素都归于同一平面之内。当我们发现空间元素不会在一个平面内时，才真正形成了空间观念，要使我们的学生“冲出平面到空间遨游，还须用“平面作传媒。几乎所有的三维空间的位置关系问题最终都遵循着“降维的思维规律转化到二维平面去解决，我们可将任意空间图形中的元素化解到假设干平面或同一平面上，又可以以平面为依托，构思出各种空间形象。从平面进入空间，又从空间回到平面，这就是平面几何与立体几何之间的辩证关系。 注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。 1
