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1、不等式证明的若干种方法毕业设计目录1前言 22利用常用方法证明不等式 32.1比较法322综合法32.3分析法42.4换元法42.5增量代换法42.6反证法52.7放缩法52.8构造法62.9数学归纳法62.10判别式法。72.11导数法72.12利用幂级数展开式证明不等式 82.13向量法82.14利用定积分性质证明不等式 93利用函数的性质证明不等式 104利用柯西不等式证明 115利用均值不等式证明 126利用施瓦茨不等式证明 137利用中值定理法证明不等式 147.1 拉格朗日中值定理：147.2积分第一中值定理： 148利用詹森不等式证明 15致谢 16参考文献 171刖言不等式的证
2、明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可 循，往往不是用一种方法就能解决的， 它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法 的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题 型范围，是学生掌握不等式证明的关键所在。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等 式的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。不等式是数学的基 本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具， 在数学中有重要的地位，也是高中 数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大， 技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度， 而且是衡量学生数学水平
3、的一个重要标志。2利用常用方法证明不等式2.1比较法所谓比较法，就是通过两个实数 a与b的差或商的符号（范围）确定 a与b大小 关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。即通过“ ab .0，a b=0，a-bv0（为作差法）或a 1，-=1，ac1（为作商法）。”来确定a，b大小关系的方b b b法。例已知：a 0，b 0，求证：色卫一 .ab . 2分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明心一 ab，-2 ab泄_0,2 2 2故得 a b _ . ab .2故原不等式成立。例设 a b 0，求证：aabb abba.分析：对于含有幕指数类的用作商法证明 因为 a b0，所以-1， a
4、-b0.ba b a bb a a ba ba bb. aa b故原不等式成立。2.2综合法综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演, 从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。例已知 a = b且 a,b R 求证：a3 b3 a2b ab2.证： a = b 所以（a - b）20 = a2 - 2ab b20二a2 -ab b2 ab两边同时乘 a b得(a2 _ ab b2)(a b) ab(a b)即 a3 b3 a2b ab2.故原不等式成立。2.3分析法从求证的不等式出发
5、分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这 个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以 判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。例求证：36 :：: 2.27 .证即：因为6.0,飞 =7 .0因为为了证明原不等式成立，只需证明C9，6)2 ：C87)2即 15 2 54 01 x w,l 故可设 x = COS&，其中 0Q 却.贝 U J - x2 x = 1-cos2 v cos si cos = . 2 s in( )，：一 一三二一44旦，二1W 2 sin(r -) 2，即1 bc)的不等 式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个
6、数，使要证的结论更清晰，思路 更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。25例 已知 a, b R,且 a+ b = 1,求证：(a+ 2)2 + (b + 2)2 .211证明： a, b R,且 a+ b = 1 ,二设 a = +1, b= t, (t R)22则(a+ 2)2 + (b+ 2)2 = (I +1+ 2)2 + ( 1+ 2)2= (t + |)2 + (t |)2 = 2t2 +25 25.2 22225(a+ 2)2 + (b+ 2)2 -2故原不等式成立。2.6反证法反证法的原理是：否定之否定等于肯定。反证法的思路是“假设 矛盾 肯定” 采用反证法时，应从与结论相反
7、的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是 正确的。例已知a3 b3 二 2,(a,b R)求证：a b 乞 2 .证：假设a b 2成立则(a b)38 .即a3 b3 3a2b 3ab2 8 a3 b3 =2 ab(a b) 2.2233(a b)(a-ab b2a3 b-2.ab(a b) (a b)(a2 - ab b2) .a b 2 .-ab a ab b2由此得（a - b）2 .a m b m c m证明：设f （x）二x ,x （o,；）,显然函数f （x）二一在x（0,=）是增函x + mx +m数。a,b,c是三角形ABC的三边长.f (a b) f (c)，又 ba
8、匚a+mb+ma+b+ma+b + mba m b m a b m c m故原不等式成立。2.9数学归纳法证明有关自然数n的不等式，可以采用数学归纳法来证明1.验证n取第一个数值n0（nN*）时，不等式成立， 2.假设n取某一自然数k（k- n0）时，不等式成立。（归纳假设），由此推演出n取k 1时，此不等式成立。求证:W丄:丄亠 亠1 :：: 2 , n,2 3. n(n N*)证：(1)当n=1时，左边=1,右边=2不等式显然成立。(2)假设n二k时,1 I1+ 丄 2yk .贝U n = k + 1 时, .k左边“2k K1=2、k(k】1 k上(k 1 = 2 k 1 . n = k
9、 1时不等式也成立.k 1k 1故原不等式成立。2.10判别式法判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数 的根，函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式， 从而推出欲证的不等 式的方程。例设 a,b, c R ，求证：a2 b2 c ab bc ca.证：f (a) = a2 b2 c2 _ ab _ bc _ ca = a2 _ (b c)a (b2 c2 _ bc).2 22 2-(b c)-4(b2c2-be)二-3(bc)2乞 0 .因为a2的系数为1 0 ， - f(a) 0故原不等式成立。2.11导数法当x属于某个区间，有f (x)_0，则f(
10、x)单调递增；若(x)乞0，则f(x)单调递减.推广之，若证f(x)乞g(x)，只须证f(a)=g(a)及f (x)空g (x), x (a,b)即可.例证明不等ex 1 x，x = 0.证明 设 f (x)二ex 一1 x,则 f (x) =ex -1.故当 x 0 时，f(x) 0, f 递增；当x ; 0, f (x) 0, f 递减.则当 x =0 时， f(x) . f(0) =0,从而证得ex . 1 x,x =0.故原不等式成立。2.12利用幕级数展开式证明不等式例当彳 X (0,1)，证明 1 xe2x.1 -x证明：因1 x，e2x分别可写成幕级数展开式:1 -x1 x1 -
11、x =:(1x)(1 x x2. xn .)1 2x 2x2. 2xn ., x (0,1);2n宀2x訂.石八.,m则要证不等式左边的一般项为2xn，右边的一般项为2nxn因此当n 一 3，n!有r; e2x.所以兴 e2x，x (0,1).故原不等式成立。2.13向量法利用向量的数量积及不等式关系 m冋m|n |2b22+ b +例 已知a、b、c都是正实数，求证 b ccb +c a +c a +b 2证明：设 m=(a b c )，门=(Jb +c, * a +c, Ja + b)，贝U Pb +c Ja +c la +b=|m|2_(m n)2|n|2_ (a b c)2 _ a b
12、 c一 2(a b c) 一 22 2 2a_ . _b_ . c a b cb c a c a b 2故原不等式成立。2.14利用定积分性质证明不等式对可积函数 f(x) , g(x)，若 f(x)wg(x)，则 f f (x)dx 誉 f g(x)dx .2 L2例 证明： i , x In xdx 乞 * xln xdx .证明 当 x 1,2时，i x _ x , In x . 0 ,贝U x In x _ xlnx，因x Inx,xlnx 在(1,2) 上均为连续函数。则.xlnx,xlnx在（1,2）均可导，由定积分性质可知2 2、x ln xdx 乞 xln xdx .故原不等式成立。3利用函数的性质证明不等式设f , g和h为增函数，满足f(x)乞g(x)乞h(x) , xR ,证明： f (f (x)乞g(g(x)乞h(h(x)，利用复合函数及其单调性质。证明：因对于任意的x R，有f (x)冬g(x)乞h(x)，且f (x)，g(x)和h(x)均为增函数, 所以有 f (f(X)乞 f
