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1、一、题之源：课本基础知识1多面体的结构特征(1)棱柱(2)棱锥(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴,y轴的夹角为45(或135),z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4三视图(1)几何体的三视图包
2、括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2)三视图的画法基本要求：长对正,高平齐,宽相等画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽；看不到的线画虚线5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l6.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3二、题之本：思想方法技巧1.在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时,主要方法就是研究
3、它们的轴截面,这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系.2.正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥,正六面体就是正方体,连接正方体六个面的中心,可得到一个正八面体,正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.(2)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,连接A1B,BC1,A1C1,DC1,DA1,DB,可以得到一个棱长为a的正四面体A1BDC1,其体积为正方体体积的.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a,球的半径为R).3
4、.长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即2R.(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即a2R.4.棱长为a的正四面体(1)斜高为a；(2)高为a；(3)对棱中点连线长为a；(4)外接球的半径为a,内切球的半径为a,外接球与内切球的半径之比为31；(5)正四面体的表面积为a2,体积为a3.5.三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线,主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度.由此得到：主俯长对正,主左高平齐,俯左宽相等.6.
5、由三视图还原几何体的方法7斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”注意用斜二侧画法画平面图形的直观图,直观图面积与原图面积之比为.8.判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可9.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等(
6、3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体三、题之变：课本典例改编1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线与所成的角为,求【解析】（）这个几何体的直观图如图所示 2.原题（必修2第28页例3）如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图改编1 如图,已知几何体的三视图（单位：cm）（）画出它的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积和体积【解析
7、】（）这个几何体的直观图如图所示（）这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm,高为2cm）,它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm,母线长为2cm,高为cm）所以所求表面积,所求体积3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边,两直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,画出它们的三视图和直观图,并探讨它们体积之间的关系.改编 已知直角三角形,其三边分为,（）.分别以三角形的边,边,边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为和,则它们的关系为 ( )., ., ., ., 【答案】B. 4
8、.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个竖直的平面截这个几何体,所得截面可能是( )【答案】（1）、（4）【解析】切面过轴线为（1）,否则是圆锥曲线为（4）本题以立体几何组合体为背景,其实运用圆锥曲线数学模型答案（1）、（4）5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中,所成的角为的直线共有 对.【答案】12【解析】计算可得共有12对改编2 如图正方体中,为底面中心,以所在直线为旋转轴,线段形成的几何体的正视图为（ ） 【答案】C6.原题（必修2第37页复习参
9、考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构,可以发现,它可以由多条直线围成,你知道它是怎么形成的吗？改编 如图所示的纸篓,观察其几何结构,可以看出是由许多条直线围成的旋转体,该几何体的正视图为（ ）【答案】C【解析】选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线.即A、B、D不可能,故选C.7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 （ ）A不存在 B只有1个 C恰有4个 D有无数多个【答案】D
