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1、3已知数列，且，则数列的第五项为（ ）A. B. C. D. 2、由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例1(14分)已知数列的通项公式，求前n项的和。例2.(14分)（1）已知，求；（2）已知，求变式1(16分) 数列为正项数列且，求通项。变式2.已知数列的通项公式，求前n项的和。典型例题解析例根据下列条件，确定数列的通项公式。思路解析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）注：已知递推关系求通项公式这类
2、问题要求不高，主要掌握由和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想的方法，以及累加=（-）+（-）+（-）+；累乘：=等方法。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。1、等差数列an中，a1=60,an+1=an+3则a10为（ ）A、-600B、-120C、60D、-609.在项数为n的等差数列an中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n= 。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则是等差数列；（2）前n项
3、和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例题解析例已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。思路解析：（1）与的关系结论；（2）由的关系式的关系式解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。（二）等差数列的基本运算相关链接1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,知其中三个就能求另外两个
4、，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例题解析例已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。思路解析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质相关链接1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）
5、除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例题解析例1在等差数列中，其前n项和为。（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求。思路解析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列的首项为，公差为，令，当n=20或21时，最小且最小值为-630.（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。变式1、已知等差数列an,a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。例2已知数列是等差数列。（1
6、）若（2）若思路解析：（1）由通项公式或前n项和公式得和的关系，通过解方程组求得和，进而求得和。（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。解答：设首项为，公差为，（1）方法一：由，得解得方法二：由，（2）方法一：由已知可得解得方法二：是等差数列，可设则-得方法三： =注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；（2）在应用性质：若则时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识。1 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。2 成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积
7、为22，则这四个数为 。 等比数列知识点及练习题等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定相关链接等比数列的判定方法有：（1）定义法：若，则是等比数列；（2）中项公式法：若数列中，则数列是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例题解析例在数列中，。（1） 证明数列是等比数列；（2） 求数列的前n项和；（3） 证明不等式对任意皆成立。思路解析：证明一
8、个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。解答：（1）由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。（3）对任意的，所以不等式对任意皆成立。（二）等比数列的的运算相关链接等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽
9、视q的取值而盲目用求和公式。例题解析例设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。（1） 求数列的通项公式；（2） 若，为数列的前n项和，求证：。思路解析：（1）得结论；（2）放缩得结论。解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，是以为首项，以为公比的等比数列，所以=。（2）为等差数列，从而-得=（三）等比数列性质的应用相关链接在等比数列中常用的性质主要有：（1）对于任意的正整数若，则特别地，若；（2）对于任意正整数有；（3）若数列是等比数列，则也是等比数列，若是等比数列，则也是等比数列；（4）数列仍成等比数列；（5）数列是等比数列（q-1）；（6）等比数列的单调性注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。例题解析例已知等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。思路解析
