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1、用函数观点看一元二次函数_1、理解二次函数与一元二次方程的关系；2、掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题；3、掌握并运用二次函数解题.1二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此_就是方程的一个根。2. 二次函数图象与一元二次方程根的关系二次函数的图象与轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个_实数根，有两个_实数根。3实际应用在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最_或最_。参考
2、答案：1. 2. 相等的 不等的3. 大值 小值1、二次函数与一元二次方程的关系【例1】如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有关系考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【解析】由于球的飞行高度与飞行时间的关系是二次函数所以可以将问题中的值代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则
3、说明球的飞行高度可以达到问题中的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中的值解：（1）解方程 当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m（2）解方程 当球飞行2s时，它的高度为 20m（3）解方程 方程无解 即球的飞行高度达不到 20.5m（4）解方程 当球飞行0s和4s时，它的高度为 0m，即0s时球从地面飞出4s时球落回地面画出二次函数h=20t5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案总结：一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程.练1. （2014春天津市校级月考）已知二次函数，且，则一定有（ ） A. B. C. D. 【解析】由，可知抛物线开口向下，又当时，所以抛物线有在x轴
4、上方的图象，必与x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，即可求解. 解： 中， 抛物线的开口向下 又当时， 抛物线有在第二象限的点。 它的示意图如图。 抛物线与x轴有两个交点。 令，得 方程有两个不相等的实数根 故选A。练2.已知抛物线yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0( )A没有实根B只有一个实根C有两个实根，且一根为正，一根为负D有两个实根，且一根小于1，一根大于2.【解析】结合图象，抛物线与x轴交点个数，即可得到一元二次方程根的关系.解：由图象可得，抛物线与x轴有两个交点， 即一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根， 且一根小于1，一根大于2. 故选D. 2
5、二次函数图象与一元二次方程根的关系【例2】二次函数(1)yx2+x2；(2) yx26x+9；(3) yx2x+1的图象如下图所示（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？【解析】如果二次函数y = ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.解：（1）抛物线yx2+x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0由此得出方程x2+x2 = 0的根是2，1（2）抛物线yx26x+9与x轴有一个公共点
6、，这点的横坐标是3当x3时，函数的值是0由此得出方程x26x+9=0有两个相等的实数根3（3）抛物线yx2x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2x+1 = 0没有实数根总结一般地，从二次函数y = ax2+bx+c的图象可知，（1）如果抛物线y = ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2+bx+c0的一个根 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根练3. 若二次函数yax2bxc的图象经过P(1
7、，0)点，则abc_【解析】将点代入函数解析式，即可求解.解： 将P(1，0)点代入二次函数得， abc=0. 练4. （2014春江宁区校级月考）一次函数y2x1与二次函数yx24x3的图象交点( )A只有一个B恰好有两个C可以有一个，也可以有两个D无交点.【解析】将一次函数与二次函数联立方程组，转换成关于x的一元二次方程，利用即可求解.解： 由题意得， .方程有两个不相等的实数根， 即一次函数与二次函数有两个交点. 故选B.3实际应用【例3】利用函数图像求方程的实数根（精确到0.1）.【解析】通过描点法作出函数图象，即可求解解：作的图象，如下图，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.
8、7. 方程的实数根为 练5. （2015烟台市一模）已知二次函数，其中为常数，且满足。试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方，还是在x轴下方？【解析】欲确定抛物线的开口方向，要看，还是，由，可知，得知抛物线开口向下；又，得知抛物线与y轴交点在x轴上方；再由，得知抛物线与x轴有两个交点解： 抛物线开口向下； 又， 抛物线与y轴的交点在x轴上方； 令，得 抛物线与x轴有两个不同的交点。练6. 二次函数yax2bxc对于x的任何值都恒为负值的条件是( )Aa0，0Ba0，0Ca0，0Da0，0.【解析】结合二次函数开口方向即与x轴的交点的性质，即可求解.解： 由题可知，要使
9、二次函数yax2bxc对于x的任何值都恒为负值，需开口向下，即a0；且抛物线与x轴无交点，即一元二次方程ax2bxc=0无解0.故选D. 【例4】已知抛物线与x轴交于A（，0），B（，0）（）。 （1）求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧； （2）若抛物线与y轴交于点C，且，求的值.【解析】（1）将二次函数转化为一元二次方程，由，求出的范围；由，得出同号；再由，得出两点在原点左侧（2）由，得出，再由，求出的解。解：（1）抛物线与x轴交于两点，且， 令，得 的取值范围是，且。 又 同为负数。 点都在原点左侧。 （2）同为负数， 由，得 练7已知抛物线yax2bxc与x轴的两个交点的横坐
10、标是方程x2x20的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式 【解析】先求出方程的两个根，再结合过已知点坐标，代入解析式即可求解解：由题意可得， x2x20 （x-1）（x+2）=0 将点（2,8）代入 即为二次函数的解析式.练8（2015泰安市一模）当m_时，函数y2x23mx2m的最小值为【解析】根据函数顶点坐标公式，即可求解. 解：根据二次函数图象可知， y2x23mx2m的最小值为 . 【例5】已知：抛物线。 （1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点； （2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C。 试问：是否存在实数，使与相似
11、？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）只要证即可；（2）设法判定与的形状，求出点A、B、C的坐标，再判定当两个三角形相似时，求出的值解：（1）令，得 抛物线与x轴只有一个公共点， 当时，抛物线与x轴只有一个公共点。 （2）抛物线与y轴负半轴交于点C， 当时， 点C的坐标为（0，），. 当时，得 点A在点B的左边， A、B两点的坐标分别是 是等腰直角三角形。 要使与相似，只需 这样的值存在，且.练9已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(b，0)，若a0，则函数解析式为( )ABC D【解析】将与坐标轴的交点代入解析式，即可求解 解：二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a) 又与x轴交点坐标为(b，0)和(b，0) 故选B.练10m为何值时，抛物线y(m1)x22mxm1与x轴没有交点?【解析】转化成一元二次方程，根据无交点，计算
