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1、中学数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离假如一条直线和一个平面平行，则直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上随意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如
2、图，在空间四边形中，E、F分别是、的中点.例1题图(1)求证：是和的公垂线；(2)求和间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结，由已知可得.又因为，所以交于E.同理交于点F.所以是和的公垂线.(2)在中，,所以222=2，即.例2题图由(1)知是、的公垂线段，所以和间的距离为.【例2】 如图,正四面体的棱长为1，求异面直线、之间的距离.设中点为E，连、.同理.平面.设的中点为F,连，则.同理可证.是异面直线、的距离.,90.、的距离是.【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）假如两条异面直线中的一条直线与过另一条直
3、线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）假如两条异面直线分别在两个相互平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3题图题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体的棱长为1，求：A到平面的距离；过A作平面于O，连并延长与相交于E，连.,.O是的外心.又，O是的中心，.又1，且90,.A到平面的距离是.【例4】 在梯形中,3a且,又平面,求：(1)二面角PA的大小; (2)点A到平面的距离.【规范解答】 (1)作于F,连结,平面,就是二面角PA的平面角.在中,90,3a,在中, .(2)平面,又,平面,作,则,平面,【例5】 如图，所示的多面体是由底面为的长方体被截面
4、1F所截面而得到的，其中4，2，1=3，1.（）求的长；（）求点C到平面1F的距离.解法1：（）过E作交1于H，则1，且.1，C1. 1.12. （）延长C1E与交于G，连，则平面1F与平面相交于.过C作，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知C1M.由于面C1，且面1F，所以平面1F面C1.在C1CM中，作1，垂足为Q，则的长即为C到面1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.1F为平行四边形，（）设为面1F的法向量，的夹角为a，则C到平面1F的距离
5、为【例6】 正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点。（1）求点到直线的距离.（2）求直线到平面的距离解：（1）连结，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线的距离。在中（2）因为与平面交于的中点，设，则，所以平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到平面的距离，也就等于三棱锥的高， ，即直线到平面的距离是【解后归纳】 求空间距离留意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例4】如图，在长方体1中，1=1，2，点E在棱上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为的中点时，求点E到面1的距离；（3）等于何值时，二面角
6、D1D的大小为.解析：法1（1）面11，A1D1，A1DD1E（2）设点E到面1的距离为h，在1中，1=，1=，故（3）过D作于H，连D1H、，则D1H， 1为二面角D1D的平面角. 设，则2x法2：以D为坐标原点，直线、1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）（2）因为E为的中点，则E（1，1，0），从而，设平面1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面1C的距离为（3）设平面D1的法向量，由 令1, 2, 2x，依题意（不合，舍去）， .时，二面角D1D的大小为.对应训练 分阶
7、提升一、基础夯实1.把边长为a的正沿高线折成60的二面角，则点A到的距离是 ( ) B. C. D.2.中，9，15，120.所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，则点P到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点P向引两条斜线为斜足,它们与所成角的差是45,它们在内的射影长分别是2和12 ,则P到的距离是 ( )A.4 B.3或4 C.6 D.4或64.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段上，动点Q在线段上，则P与Q的最短距离为 ( )A. B. C. 5.在四面体P中，、两两垂直是面内一点，且点M到三个面、的距离分别为
8、2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如图，将锐角为60，边长为a的菱形沿较短的对角线折成60的二面角，则与的距离是 ( )A. B. C. D. 第6题图第7题图7.如图，四棱锥P的底面为正方形，底面，1，设点C到平面的距离为d1，点B到平面的距离为d2，则有 ( )A.1d1d2 1d2111d2 2d118.如图所示，在平面的同侧有三点A、B、C，的重心为G.假如A、B、C、G到平面的距离分别为a、b、c、d，则等于 ( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不对第8题图第9题图9.如图，菱形边长为a，60，E、F、G、H分别是、上的点且，沿和
9、把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面的距离是 ( )A. B. C. D.二、思维激活10.二面角等于60，平面内一点A到平面的距离的长为4，则点B到的距离为 . 11.在60的二面角l中，Al于C，B，l于D，又，则A、B两点间距离为 . 12.设平面外两点A和B到平面的距离分别为4和1，与平面所成的角是60，则线段的长是 .13.在直角坐标系中,已知A(3,2)(-32)沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AB后,90，则的值是 .三、实力提高14.在边长为a的菱形中，60，平面，E是的中点，求点E到平面的距离15.在直三棱柱A1B1C1中，为直角，侧面1与侧面1所成的二面角
10、为60，M为1上的点.A11=30，1=90，.(1)求与侧面1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点A到面1的距离. 16.已知斜三棱柱A1B1C1的侧面A11与底面垂直.9022,且11C11C.（1）求侧棱A1A与底面所成角的大小;（2）求侧面A11与底面所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A11的距离.17.如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1中，E、F分别为棱与的中点，与交于H.(1)求二面角B1B的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M面1，并证明你的结论.(3)求点D1到面1的距离. 第17题图空间的距离习题解答1 折后,点A到的距离为.2 .外接圆半径,点P到的距离
11、为3 设垂足为 ,则-=45, (-) 45绽开左边并整理得2-1024=0,解得x1=62=4. 4 P、Q的最短距离即为异面直线与间的距离，当P为的中点，Q为的中点时符合题意.5 .6 取的中点O连、，作于E，则为所求，.7 点C到平面的距离d1=,点B到平面的距离d2=，,d2d118 ，又.3d.9 设的中点为O，点A到平面的距离为.10.2 作于C，连，则，第13题图解60，又平面，平面平面，作于D，则，的长即为所求，得211. .12.2或当点A、B在同侧时，;当点A、B在异侧时，13. 如图=y轴Cy轴,B为二面角AB的平面角.B=,在B中3,第14题图解BB=,由余弦定理易知=
12、.14.如图，将点E到平面的距离转化成线面距，再转化成点面距.连、，设、交于O，则平面，上任一点到平面的距离相等平面平面，过O作平面，则G，又60， 60=.点评：若干脆过E作平面的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要留意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果 15.(1)三棱柱A1B1C1为直三棱柱，为二面角B11C1的平面角，60.又为直角，侧面1.连，则是在侧面1上的射影.为与侧面1所成的角.且1=90，A11=30，所以60.设，则，所以.即与侧面1所成的角的正切值为.(2)过A作，垂足为N，则面1.面面1，且过N作，垂足为H，则是N到面1的距离，也就是A到面1的距离.,且30，第16题图解且60，.(本题还可用等积法).16.(1)如图所示,作A1D,垂足为D,由面A11面,得A1D面A1为A1A与面所成的角11C11CA145为所求.(2)作垂足为E,连A1E,则由A1D面,得A1E,A1是面A11与面所成二面角的平面角.由已知得,又D是的中点2211A1,故A160为所求.()连结A1B,依据定义,点C到面A11的距离,即为三棱锥CA1的高h.由A11得S1A1D即,为所求.第17题图解17.(1)如图连结B1D1，B1H，底面为正方形，对角线.又E、F分别为、的中点又棱B1B
