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1、算法初步（1）主持人：各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块2-11算法初步将邀请石志群老师主讲。首先请允许我向各位老师介绍一下，今天主讲的专家石志群老师。石老师是泰州市教研室主任，特级教师，教授级高级教师，苏教版高中数学课程标准实验教科书分册主编。主讲人：各位老师，大家好！现在我们对苏教版普通高中课程标准实验教科书数学(必修)3的算法初步的编写与教学方面的有关问题进行探讨，欢迎大家多提宝贵意见。主持人：石老师，算法是新增内容，尽管我们经过8年实验，对于算法的教学已经有了一些了解，但总觉得“度”把握不准，石老师，您觉得应从哪些方面来理解算法的教学？石：我觉得要理解算法内容，我认为应该
2、解决下列问题：（1）为什么要学习算法初步？（2）算法的特性是什么？算法与计算机程序区别是什么？（3）算法初步教材编写意图是什么？（4）算法教学的重点与难点是什么？（5）如何将算法思想贯穿数学教学的过程？主持人：是的，今天许多教师仍然不太理解教学算法的意义，石老师，请您给我们谈谈学习算法的意义好吗？石：行！现代算法通常指计算机程序语言，而数学的算法要更为广义，通常我们对解决一类问题的机械的、统一的方法称为算法。可见，算法既有具体化、程序化、机械化的特点，也具有抽象性、概括性和精确性，同时，算法又是思维的条理化、逻辑化。从数学史的角度看，算法思想伴随着数学的起源而始，伴随着数学的发展而进步，尤其是
3、在计算技术突飞猛进的当代，其在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用。古埃及人为了丈量被洪水冲刷过的土地，需要进行这个面积的计算，于是产生了计算面积的算法；阿基米德为了计算抛物线下的曲边梯形的面积，发明了名曰“穷竭法”的算法；欧几里德在研究数论时设计了求两个正整数的最大公约数的“欧几里德算法”。还有我们中国古代数学以算法为主要特征，尽管我们对祖冲之是怎样推导这个圆周率不得而知，但他所用的一定是当时的最好的算法；一千多年以前发明的，计算多项式的值的秦九韶法，就是在现代程序设计中也是最优的算法；还有“大衍求一术”、更相减损法，等等。这些都说明，算法是渗透数学文化，体现数学文化价值的重要载体。从学
4、生数学学习的过程看，算法思想也伴随着其数学知识的不断丰富而逐渐发展的。识数的过程就是一种算法过程，而且是“皮亚诺公理”的思想的盟芽；加法、乘法等运算本身就是算法；小数、分数概念的学习是对数的划分的算法；解一元一次方程、二元一次方程组的方法是算法；函数就是在两个非空数集合之间定义了一种算法；等等。从数学学习的认知过程看，算法思想的发展也促进了学生数学认知结构的发展，数学认知能力的提高。如小学数学学习的初始阶段大多以模仿开始，学习方式是先是教师（或教材）的示范，学生模仿算法过程，特别地，当一些算法还要机械记、背（如九九乘法表）。列方程解应用题就为学生提供了独立建立算法以解决这个具体问题的阶段了。而
5、推理论证的教学让学生掌握了探求确认某个论证的正确性的算法过程的方法。特别是微积分的学习，让学生将算法的思维方式从有限的领域发展到的无穷的空间，实现了认知结构的根本性的转变。综上所述，从宏观上看算法是贯穿整个数学内容体系的重要思想，算法的教学也应该贯穿整个数学教学的过程之中。因此，学习算法的初步内容，是十分必要的。主持人：实际上学生学习数学的一个过程就是在学习算法的一个过程，石老师，是吗？石：应该说这是一个方面。主持人：我们是由简到繁。石：对！通过教学实验，我们对算法有了基本的理解，请您再给我们说一下算法的特性好吗？石：通常情况下，算法有五个重要特性。一个是有穷性，一个算法必须保证执行有限步之后
6、结束；第二个确切性，算法的每一个步骤必须有确切的含义；第三个输入，一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身确定了初始条件；第四输出，一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；五、可行性： 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。教学过程中对这几个特性不必过分强调。有些可以适当说明，如（3）、（4），有些可以通过实例让学生自己感受，如（1）、（2）。当然，也不一定在第一节课“算法的含义”就急于指明。对（1），就可以在适当的时候（如讲流程图、伪代码）时，举一个死循环的例子，就能使学生有所了解。对
7、（2），可以在讲“选择结构”时，通过一个例子，如分段函数上某部分没有定义导致存在一个步骤在某些情形下无法确定如何操作。主持人：那么本书第一章中的算法与计算机程序设计是一回事吗？石：这个呢，我们要从这样几个方面看。一方面，本书中的算法指的是解决某类问题的机械的、统一的操作方法和步骤，它是数学中的一种重要的思想方法，另一方面，正由于其能够统一地解决某类问题，使我们可以利用计算机实现这样的算法，从而给我们带来很多便利。在表示算法时我们可以用自然语言、流程图或伪代码，其中伪代码借用了计算机语言中的程序语言中的一些关键词，但是，本书算法中表示算法的伪代码并不是严格的计算机程序语言，并不能直接上机运行，但
8、它又是设计计算机程序语言的基础。要让学生了解算法与计算机程序语言的这种区别与联系。算法一章的教学重点我请你谈谈你的看法。生：我觉得算法一章中的教学重点是让学生充分感受算法思想，通过学生熟悉的数学、生活中的典型问题，包括我国古代的体现数学思想的数学成就，让学生经历算法的建立过程，体验算法作为解决一类问题的统一的“模式”的重要作用和价值。建立算法时，不宜过难、过繁，只要通过较简单、熟悉的背景让学生能够感受到算法的思想和价值，更不要过分追求算法语言的准确和规范。有条件的学校可以结合“信息技术”的教学，让学生设计计算机算法语言，并上机实习。主持人：那么算法初步教材编写意图究竟是什么呢？石：在整体结构上
9、，这一章呢，它的结构框架就是由自然语言到流程图到伪代码，也就是在表示算法时，以揭示算法思想为主线，围绕这条主线，分别以自然语言、流程图和伪代码对算法进行描述，而且三种语言层次清楚，逐步过渡。这样一种逐步提高抽象程度的设计，能有效地降低学习的难度，同时也对这个算法的设计，特别是计算机程序的设计的基本流程。在呈现方式上，我们始终通过具体案例的研究，让学生逐步理解算法的含意，感受算法的思想，了解算法设计的方法，并掌握表示算法的各种语言。也就是说，本章教材的设计在学法和教法上是以案例教学法为支点的。主持人：能举几个具体的实例吗？石：比如说，在“流程图”一节，以三个具体实例引入：第一个就是作三角形的外接
10、圆的算法；第二个就是铁路部门规定的这个铁路这个托运的行李的费用，用这个分段函数的这样的一个算法；还有一个呢，就是国际奥委会在选择奥运会主办国时进行的表决的一种操作的这样的一个程序。 用这样几个案例，分别概括出了顺序结构还有选择结构和循环结构，还有循环结构的这个流程图。关于教材的设计，我再补充两点：第一点，在选择算法语言时，我们是以程序语言为基础的，但并不是严格按照这个计算机程序来直接上机运行的。这个表示循环语言的算法语句的比较多，我们呢，教材上现在呢是选用了“”“语句、“”语句跟“DO”语句这样三种类型，分别表示直到型和当型循环这样的循环结构。这样做，既可满足需要，也降低了学习的难度，保证了突
11、出基本算法思想，淡化较难、繁的程序设计和表示的编写意图的这样的一种实现。第二，教材中的案例大多是学生熟悉的实例，如生活方面的题材、初中数学知识和前几章的内容，这样处理的目的是将学习的重点放在算法语言的描述上，避免在问题解决的枝节上浪费时间，比如说案例，将计算运费的函数直接给出，将建立函数关系的过程略去，就是为了将主要精力用于建立描述算法的语言。为了减小学习的难度，在流程图中只介绍了直到型循环，当型循环作为阅读题让学生先有所了解，再在后续的循环结构语句及伪代码部分再作说明。这些都突出表现了教材中的“螺旋上升，渐次递进”的这样的一种原则。主持人：那么，请问石老师算法教学的重点与难点又是什么呢？石：
12、这个算法部分，它这个教学的这个重点，应该说主要包括这样几个方面作为算法，这样几个方面，一个呢，就是设计算法，第二个表示算法，第三个确认算法，第四个分析算法，第五个验证算法。其中呢，三是明确算法的能够运行，四是分析算法的运行长度与运行时间，五是上机运转。因为高中数学课程中的算法教学的根本目的是让学生感受算法的思想，所以对算法的教学来讲，重点应该放在一、二两方面，而更为重要的是应该将重心放在二，即如何表示算法。不仅如此，对表示算法的方法也不要求很严格、规范，只要能够正确说明算法过程就可以了。所以呢，这个苏教版教材中所采用的符号并不是程序语言当中的规范的方式，而是较为直观的、简捷的“伪代码”。正因为
13、如此，教学过程中应该充分运用学生所熟悉的，数学的内部的或者现实的生产、生活中的例子，将设计算法的要求降到较低的层次，而使主要精力用于算法的表示方法的研究。比如说，算法的含义的教学，可以用学生熟悉的例子，给出算法，而不是设计算法，让学生分析其特点，形成算法的概念；对算法结构的教学，也可以通过求函数值、单位换算等学生已经掌握的，这个，所熟悉的这些例子，使其了解顺序结构、选择结构等算法结构，用跑10000米或等差、等比数列求和等问题介绍循环结构。当然，对不同的学生，要求也应该有所区别，主要是对有兴趣、特长的学生，可以提高。这个，一是课堂当中教学的要求可以分层次，第二个呢，通过探究性学习的方式，让有兴
14、趣、有特长的学生有更大的发展空间，发展他的思维的能力。主持人：算法教学的难点又在什么地方？石：算法教学的难点主要是循环结构。对循环结构呢，首先要准确认识循环结构的特点、循环结构的形式。一是要让学生感受循环结构是用来描述多次进行相同的操作的算法步骤的一种算法结构。二要让学生了解循环结构有当型结构与直到型结构两种，前者是先判断后操作，即在满足条件时进行循环体，否则跳过循环体，后者是直接操作，然后进行判断，如果满足条件，则退出循环，否则继续循环。这两种算法结构分别可以用两种流程图表示。而当型循环与直到型循环这两种流程图是可以相互转化的。我们可以通过例子来说明这个问题，这地方我们就不再举例展开说明了。
15、第三个，特别要注意输出值的确定。比如说这些算法当中，如果你这个算法的流程图或算法过程当中某两个语句，它执行的顺序不一样的话，那么最后输出的那个值它就可能有所差异，所以我们要进行适当调整，从而控制好最后的输出值。其次呢，要充分暴露循环结构的算法结构的形成过程。一个呢，是提出问题的过程，感受“重复进行相同或相似的操作”，即循环的特点，二是如何简要地表示这种“循环”，即用一次包括多次。详细的处理方式可参考教材上的一些具体的案例，这个地方我们就不再讲了。第三个呢，要注意循环变量的确定，循环变量必须要赋予它的初始值。有时呢，为了实现和控制循环，还可以设计一个“计数器”，这个我们教材上这样的案例也有，我们
16、就不再举例说明了。循环结构是算法部分学习的重点和难点，在教学过程当中要循序渐进，刚开始以教师的示范为主，不宜引入过多的变量。循环变量的设定由易到难，循环体由简单到复杂，终止条件的个数不能过多。主持人：刚刚石老师也已经说了循环结构是本章的难点，那么我还想问一问石老师学习循环语句时我们应该注意哪些问题呢？石：我想呢，主要应该是这样几个方面。一个呢，就是循环结构是用来描述多次进行相同的操作的算法步骤的一种算法结构；要明确这一点。第二个呢，就是循环结构有两种形式，就是当型和直到型这两种，前面一个是先判断后操作，第二种呢，就是先操作后判断，所以它们的这个呢，表示的形式、流程图也是不一样的。这是这样的这一个方面。还有，在这个流程图这一部分呢，我们的教材上有，大家可以看一
