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1、数值计算方法课程设计题目：用最小二乘法实现数据拟合学院：理学院班级：09-2学生姓名：李微学生学号:14指导教师：李文宇2011年12月19日课程设计任务书姓名李微班级09-2学号14设计题目用最小二乘法实现数据拟合理论要点最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达 到最小这里的二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在 古汉语中 平方”称为 二乘”，最小”指的是参数的估计值要保证各个 观测点与估计点的距离的平方和达到最小。设计目标用最小二乘法实现线性拟合和非线性拟合，且使近似曲线能尽量 反应所给数据点的趋势，且使误差平方和最小。研究方法 步骤1、分析题目2、查找数据及收集资
2、料 3、确定思路4、编写程序5、调试程序6、设计报告预期结果对任意给定的无规律的二维数据，都能用一个简单合理的数据进行 拟合。计划与进 步的安排第一天:分析题目，确定需要查询的数据 第二天:去图书馆或者边度文档收集资料 第三天:整理资料，选出对自己有用的资料 第四天:确定大致思路。列出编程提纲 第五天:编写程序第六天:调试程序第七天:设计报告，做最后的检查、八 、,刖言1、1背景介绍最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体 轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测 量就
3、足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨 迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨 迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维 空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作 用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等 效时间的概念根据Arrhenius函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的 变化，最后采用最小二乘法回归分析试验数据，确定绝热温升和等效时间的关系 式。1、2问题引入假设已知一组二维数据(Xi,yi),
4、(i=1,2,3 f),怎样确定它的拟合曲线y=f(x) (假设为多项式形式f(x)=ao a!X - . - anxn )，使得这些点与曲线总体来说尽量 接近？(2)若拟合模型为非多项式形式y =ae”，怎样根据已知的二维数据用最小二 乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看 上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。目录前言I1、1背景介绍I1、2问题引入I摘要III正文-1 -1、理论依据-1 -(1 )线性拟合-1 -(2)非线性拟合-2 -3、问题分析 -2 -(1) 线性拟合分析 -2 -(2) 非线性拟合分析 -3
5、 -4、求解计算-3 -(1)线性拟合计算-3 -(2)非线性拟合计算 -5 -5、程序内容及其计算 -6 -6、结论-8 -7、参考文献-9 -#数值计算方法课程设计摘要本文主要依据最小二乘法对任意一组数据进行线性拟合和非线 性拟合。因为在实际生活中，我们在工厂，车间，工作室等地方将遇 见很多数据，这些数据可能是有关系，及线性关系，正比关系，一些 简单和复杂的关系。但是更多的数据是杂乱无章的。 对于这些无规律 的数据，我们得出对我们有利的结论。然而分析数据又是我们这个时 代发展的必不可少得研究，所以只有将数据转化成为我们需要的形 式，才能进一步分析。将数据转化为必要的形式的一种最重要的方式是
6、最小二乘法中的曲 线拟合，但是在拟合的时候，有些非线性的数据需要我们进行变量代 换。在本文中，我就举出了一个非线性拟合的例子y =aebx，通过此例 子来演示如何把非线性拟合转换成线性拟合求解。本文中还有重要的模块是用 matlab编写程序，在使用c语言和 java等高级语言之后，发现 matlab软件特别好用，在调用子程序时， 我们只需要建立大M文件，而我们所工作的区间就是主程序。我们 可以初步绘制出散点图。观察散点图的趋势来确定用什么拟合。而且大M文件可以永远保存在 matlab软件中。在日常生活中，最小二乘 法的应用有很多，我们可以随时调用随时使用，对以后的工作和学习能有帮助。关键字：线
7、性拟合，最小二乘法，matlab软件，M文件正文1、理论依据最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的 二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语中平方”称为二乘”)，最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方 和达到最小.对于回归模型y=S(x),若(xy) (i=1,2,3m)为收集到的观测数据，贝U应该 用来估计，这里是(xi, S(xi) ) (i=1,2,3 -m)的估计值。它们之间距离的平方和m就是 a S(xJ yj2。1进而最小二乘估计量就是使mmm2222:：2八-=7 S* (Xi) yj = min. 7 S(Xi)
8、 yj(*)vyS(xb - i达到最小值的参数。2、问题描述(1 )线性拟合已知如下表格，怎样利用最小二乘法求出线性拟合曲线?Xk12345yk1.52.53.55.07.5-i -数值计算方法课程设计(2)非线性拟合已知入戏表格，如何利用最小二乘法把非线性拟合转换成线性拟合，再进行拟合，并且写出拟合曲线？Xk12345yk1.52.53.55.07.5Yk =ln yk0.4054651180.9162907311.2527629681.6094379122.0149030213、问题分析(1)线性拟合分析给定一组测量数据 ( Xi, yi), i=0,1,2,m，基于最小二乘原理，求得变
9、 量X和y之间的函数关系f(x,A),使它最佳地逼近已知数据。其中A=( a。, a，a.) 是一些待定参数。2通常把最小二乘法中的|2都考虑为加权平方和，即m| 可 2 = V(Xj)( f (Xi) 一 yi )2i Z0其中，(xj = 0是a,b上的权函数，它表示反应数据(Xi,yJ在实验中所 占数据的比重。选择参数A使得加权平方和最小，即求满足mm22w(Xi)( f * (Xi) yj = mi n w (x：)( f (x：) y J (xj = 0(*)i =0i -0的 f*(x)。要使(*)最小，它转换为求多元函数mn2I (a,ai，,an) = 6a(xj - f (x
10、ji =0j =0的极小点(a。* ,a；an*)问题。 由求多远函数极值的必要条件，有jmn(Xi)p- ajj(xj - f (Xi) (xJ =o (k =0,1，n).:a kij zfim若记(, ；：k ) = 7 (Xi) j (Xi ) ；：k (Xi )，i =0则m(f ,;：k (Xi) f (Xi)k(Xi)三 dk (k =0,1,，n),i _0可改写为n(j, )aj =dk (k =0,1，n).(* )j =0此方程成为法方程。它也可以写成矩阵形式Ga 二 d,TT其中a =：(a 4, , a.) , d = (d,d !，d n)()C (；：0, )何W
11、o)仲1角)仲1,咒)G =：-nWo) Wn 角)伸 nW) 一(i=1,2,3 n)由于 0，半厂n线性无关，故G式0方程组(* )存在唯一解a k _ a k从而得到函数f(x)的最小二乘法解为S* (x)二 a。* r(x) a(x)a.* (x)可以证明，这样得到的对于任何多项式形式的S(x),都有mw(Xi)S* (xj 一 f(xji m空区)*2区)一 f(xji -0故S* (x)确实所求最小二乘解。(2 )非线性拟合分析我们可通过变数变换将其化为线性模型。利用最小二乘线性拟合确定其系 数，再利用逆变换给出原问题的曲线拟合函数。4、求解计算(1)线性拟合计算首先画出散点图，根
12、据图形的散点分布，编写出线性拟合。 x=1:5; y=1.5,2.5,3.5,5.0,7.5; plot(x,y,*) p=plotfit(x,y,3)则绘制出的图为:编写程序，进行数据拟合M文件：fun cti on c=lspoly1(x,y,M) n=len gth(x);B=zeros(1:M+1);F=zeros( n,M+1); for k=1:M+1F(:,k)=x.A(k-1);endA=F*F;B=F*y; c=(AB);调用M文件：Lspoly1(x,y,1)ans =-0.35001.4500Lspoly1(x,y,2)ans =1.4000-0.05000.2500Ls
13、poly1(x,y,3)ans =0.00001.9167-0.50000.0833Ispoly1(x,y,4)ans =0.00001.9167-0.50000.08330.00001阶拟合多项式 2阶拟合多项式 3阶拟合多项式 4阶拟合多项式y=-0.3500+1.4500x y=1.4000-0.0500x+0.250023y=0.0000-1.9167x-0.5000#_0.0833x3234y=0.0000-1.9167x-0.5000x _0.0833x +0.0000x(2)非线性拟合计算根据问题分析，我们建立回归模型 y二ae”。然后把非线性多项式拟合模型 转换为线性问题。我们
14、对方程y =aebx取对数，得In y=l na+bx令Y=l ny, A= In a,则原问题转化为 解Y=A+bx的线性问题。即有bxy 二 aeY二 A+bx取对数，并令丫=lny, A= lna,这样的话，问题则转换为以下数据，求A,b的问题。 x=1:5; y=0.405465118 0.9162907311.2527629681.6094379122.014903021; plot(x,y,*) Ispoly1(x,y,1)ans =0.06620.3912 则 A=0.0662, b=0.3912。Y=0.0662x+0.03912原拟合曲线为：y =0.0662 e0.3912x5、程序内容及其计算线性拟合中，我首先建立一个大M文件，该文件内容为：function c
