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1、跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的实践解读之三上海市静安区教育学院 曹培英核心词三“空间观念”一、还原空间观念的本来面目1. 空间观念一词的由来建国以来，历次颁布的小学算术（数学）教学大纲中，最早出现“空间观念”一词的是1956年印发的小学算术教学大纲（修订草案）。原文是：“在小学里学习几何教材，除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外，还可以发展他们的空间观念”。该“草案”是根据前苏联小学算术教学大纲编译的。据参加编译和修订工作的曹飞羽先生说，本应译成“表象”，考虑到当时这一心理学名词比较生僻，怕教师不理解，所以改译成“观念”。因为观念的词义，除了作思想意识或认
2、识、看法解之外，还可以解释为“客观事物在人脑里留下的概括形象”，也就是表象。从此，“空间观念”就一直沿用至今。1986年，笔者参加九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）研制工作时，鉴于当时还没有空间观念的明确界定，且“表象”一词已被多数小学数学教师所熟知，曾提议是否改回“表象”。经研究，发现小学数学的教学实践，已经突破了“表象”的局限。例如，教师给出长方体长、宽、高的厘米数，学生能够比划出长方体的大小，这实际上是空间想象的初步表现。本来，表象有记忆表象与想象表象之分，想象有再造想象与创造想象之别，表象与想象，很难截然划清边界。但当时初中数学教学大纲继续采用“空间观念”的提法，小学数学教学大
3、纲自然不宜出现“想象”。比较而言，空间观念的内涵比空间表象更为宽泛，留有余地。既然如此，还是不改为好。2. 相关概念的梳理作为实践解读，本不该过于追究术语、概念，但由于空间观念这一核心词的重要性（仅次于数感）与特殊性（由来的中国特色），适当梳理是必要的。读者可根据个人的需要，选择性阅读。一般认为，“观念”一词源自古希腊的“永恒不变的真实存在”。它同物质和意识关系密切。由此可以认为，它原本是一个哲学术语。从心理学的视角看，与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。（1）空间知觉、空间表象与空间想象空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。 空
4、间表象是在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。在认知心理学中，表象既是信息加工的成果，又是信息加工的过程。 空间想象是指在事物或图形的影响下，在言语的调节下，头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合，产生新表象的心理过程。显然，空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。正是由于表象处在“承前启后”的地位，同时作为一种信息表征它在记忆与思维中又起着重要的作用，所以随着认知心理学的兴起，关于表象的研究，可谓方兴未艾。一般来说，从知觉到表象、到想象，这三种认知水平是递进发展的。教学观察表明，同一年龄阶段的小学生中，不同的个体又可能表现出不同的水平。例如
5、，让五年级学生指认圆柱的高：个别学生能正确指认圆柱实物的高（如图1），但在指认圆柱图形的高时，出现了错误（如图2），表明这类学生只达到了“实物识别”即空间知觉的水平。高图2高图1有的学生不仅能正确指认圆柱图形的高（如图3），表现出“图形识别”即空间表象的水平， 还能根据提示语“长方形绕着它的一条对称轴旋转”，在圆柱正视图上正确指认该圆柱的高（如图4），表明这类学生已经达到了“剖面识别”即空间想象的水平。图4高高图3从实物识别到图形识别、剖面识别，实际上也反映了表象概括水平的发展，特别是表象的流动性、可操控性（心理操作）的发展。教学观察还发现，同一个学生在某种场合表现出这种水平，换个情境又可能表
6、现出另一种水平，说明三种空间认知水平在同一个体中还会交错共存。上面的问题情境，没有刻意排除知识（如“高”的概念）的理解，对于空间认知水平表现的影响。这是因为笔者认为：试图完全剔除知识、经验影响的实验研究，比较适合学龄前儿童；当实验对象是小学生时，这方面的努力常常是徒劳的。类似的例子如：从小喜欢玩积木及各种玩拼装玩具的男孩，与喜欢玩娃娃的女孩，入学后自然会表现出空间认知水平的性别差异。有经验的教师都能发现这一现象，尽管差异会随着年龄的增长而有所减弱。但很多量化分析空间认知性别差异的研究，在筛选实验对象时，几乎都没有考虑各种活动经验的同等条件，因为这样做是非常困难的。再说，在数学教育的语境中讨论空
7、间认知，自然会联系教学内容，剥离几何知识的研究，难免拉大与教学实际的距离。因此，教学环境下的实验，不那么精准，却具生态性，对教学实践更有启发意义。（2）空间能力心理学关于空间能力的研究由来已久。不少学者认为空间能力是智力的一个重要的相对独立的成分，比如被誉为多元智能之父的加德纳认为，空间能力是几种“相对自发的人类智能”中的一种。然而，对空间能力的界定与结构分析，至今尚无定论。按照能力的通常定义推演，空间能力应该是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征。这与加德纳关于智能的定义“量度一个人问题解决能力的指标”是一致的。就认知活动来说，空间能力是以空间形式为主要对象，以空间知觉、表象和
8、想象为主要心理活动过程，在头脑中进行几何抽象、分析与综合（包括图形的分解与重组）、判断与推理（包括图形的运动及二维、三维间的转换）的思维能力。简言之，所谓空间能力主要是特定领域内的思维能力。上述概念的关系，可以大致图示如下：空间知觉空间表象空间想象及其他思维图5空间能力严格地说，思维与能力是两个有区别的概念，空间能力也不仅仅是空间思维（信息加工），还包含空间问题解决（信息输出），但无可否认的是，空间思维是空间能力最主要的构成要素，将两者视为一体并忽略其他附属因素不失为一种研究策略。为数众多的研究已经表明：空间能力对从事数学研究和科学、技术工作甚至一般工作的人来说，都是重要的；经过一定的训练可以
9、提高空间能力的水平；小学阶段的训练也是如此。（3）空间观念笔者以为，所谓“空间观念”是一个具有中国特色的数学教育术语，它的内涵只能靠我们自己，基于实践研究，借鉴相关理论来给予界定或描述。从词语的实际使用情况看：一般教师大多把它视为表象、也会不知不觉地进入想象；学者们大多把它作为空间能力即空间思维的代名词，尤其是在课程标准中，将图形的抽象、分析等典型思维活动都纳入空间观念的范畴，其实就是在空间能力的意义下使用“空间观念”这一术语。通过前面的分析，不难看出两种使用倾向实际上是趋同的。据此，本文以下论述就不再区分空间观念与空间能力、空间思维，一概称之为空间观念。在小学，空间观念以空间表象为主要表征形
10、态，也包括一定的命题表征，并涉及空间知觉与初步的空间想象。关于空间观念这一术语的中国特色，不妨再补充一个例证。全美数学教师理事会于1988年前后制订的美国学校数学课程与评价标准，于2000年出版的美国学校数学教育的原则和标准，人民教育出版社都有中译本。前一书，由国内学者翻译，多处出现空间观念一词。如：“对于23维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面。” 后一书，主要由旅居海外的学者翻译，书中难觅空间观念。相应的语段如：“空间想象建立和操纵二维和三维物体的心智表征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。” 询问前一书有关章节的译者张卫国
11、先生，他说是按照我国的用语习惯意译的。经查，原词是spatial sense，如果直译，应为空间知觉或空间感。感谢友人相助，仔细查阅后一书的原著，不见spatial sense，取而代之的是spatial visualization（空间想象）、spatial reasoning（空间推理）、Geometric thinking（几何思维）等，揣想可能是前后两书不同作者或研究进展的缘故。关于空间观念也包括一定的空间想象，有必要再展开作些说明。一段时间以来，国内数学教育界比较普遍的看法是，空间想象要求过高。所以包括初中在内的义务教育阶段只提培养空间观念。事实是，想象的难易，很大程度上取决于想象的
12、具体内容：简单的形体，小学生都能想象；复杂的形体，大学生也难以建立表象，更不要说想象。例如，本人执教“圆柱的认识”时，曾经有过一段有趣的师生对话。师：想象一下，一个圆柱体直径20厘米，高1厘米。谁来描绘一下这个圆柱？生：这个圆柱体比较大、很矮，像个圆盘。师：见过这样的圆盘吗？生：没有。师：能画出图来吗？生：可以。本以为学生会联系生活经验，回答这是一张大饼，实际却无人有此联想；先前教学中出示了圆柱体的教具和一些圆柱形的实物图片，但没有如此特殊的形状。由此推断学生回答时，记忆表象中还没有这样的圆柱变式，他们是凭借想象，对头脑中的圆柱表象（标准图形），依据已知尺寸作了改造。这是限制在基础知识范围内一
13、般学生都能完成的想象，比较接近表象水平。进一步更典型的想象，在许多灵活应用的练习中常有充分表现。例如：一根表面积是138平方厘米的长方体木料，相对的两个面是正方形，正方形的边长小于长方体的长。从木料一头锯下一个最大的正方体，剩下部分的表面积为98平方厘米，求锯下的正方体表面积。习题没有图示，凡能正确解答的学生都能清楚解释“（13898）46”每一步计算的结果是什么，表明他们在头脑里想象出了前后表面积的差，是锯下的正方体4个面的面积：图6zxy0图7相反的实例，如“马鞍面”即双曲抛物面（图7），很多大学生学过之后画不出草图，观察多媒体演示也无济于事，说明他们并没有形成该曲面标准图形的记忆表象。透
14、过诸如此类的例证，不难得出启示：尽管我们将小学生的空间观念主要定位在空间表象水平上，因为它切合小学生空间观念的现实水平；但不应排斥空间想象，因为它在小学生空间观念的邻近发展区内。二、怎样把握空间观念1. 教学文件中关于空间观念的阐述在我国，1963年颁布的全日制小学算术教学大纲（草案），首次在“教学目的”中提出了“具有初步的逻辑推理的能力和空间观念”的要求，但未阐述什么是空间观念。1978年的全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案），以及1986年的全日制小学数学教学大纲，都只是提出同样的要求，仍没有加以阐述。1992年的九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用），第一次对培养初步空间观念
15、的要求，作了比较具体的描述：“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。” 这段话言简意赅，首先刻画空间观念是指建立什么样的表象，然后说明最主要的表现“识别”与“再现”，至于未尽内涵，则用“培养初步的空间观念”概括。2001年的全日制义务教育数学课程标准（实验稿），进一步作出更详细的阐述：“空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。” 这段文字的内容非常丰富，有五层意思。一是空间想象方面的表现，包括两种转换，即实物形状与几何图形、几何体与三视图、展开图之间的可逆转换。二是动手操作方面的表现，制作模型、画出图形。三是空间分析方面的表现，复杂图形的分解、分析。四是空间描述方面的表现，描述运动变化、位置关系。描述位置关系还特别强调“采用适当的方式”。因为
