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1、正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广.由于无限次相 加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变.首先，有限次相加的 结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的.因而，判断级数的敛散性问题常 常被看作级数的首要问题。在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如 达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新 审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法一. 预备知识1正项级
2、数的定义 如果级数 x的各项都是非负实数，即x 0,n二1,2,则称 nnn=1此级数为正项级数2.收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。所以正项级数若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到s = 1 1k 2-=lnb k1 k+-ln=ln2 - ln + 2 0，若lim= L，当123nUnLv1,级数收敛，当L1,级数发散，L=1，不能审敛。例1考虑级数艺xn= 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 23 +n =1limnslimnslim Jx = lim 2ngng、x +13nnlimxng2n+1nx +12nnlim =xng3n二 +8 ;0 所
3、以级数收敛n1 = 12nJ 22.拉贝审敛法 U + U + U + +U +123nU 0，若 lim n(1_L+1) = L,Un T8n则当Lvl,级数收敛，L1,级数发散，L=l,不能审敛。例2判断级数1正卅&!的敛散性n=1解设Xn =晋Vi则lim二+1 = lim (2 +1)= 1，(达朗贝尔审敛法不可用)ns Xns (2n+2)(2n+3)nxn (6 n + 5) 3lim n (n 1) = lim= 1ns Xns 2n +1 /2n +1所以级数1+艺(2n 1)!b1收敛n=1 (2 n)!2n + 1三. 常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看
4、出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝 审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审 敛法的应用相比较之下更为广泛。有效，而对正项级数工u来说,a但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。但实际 上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数 如果lim = 1时，则比值审敛法就无法对级ng U数的敛散性作出审敛。例如，我们不难证明，当 u 为 n 的有历史时，总有alim L = 1，也就是说此时比值判定法必定失效。这足以说明比值审敛法的应用 ns Ua范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。其中，比较常用的是下面的
5、拉贝审敛法。拉贝审敛法：是正项级数，如果limn（nT8ua+1-1）=p那么，当p1时级数收敛：而当 p-时级数发散。ns U22a2.推广比值审敛法2 （双比值审敛法）：对于正项级数工u ，如果 alina = li纭1= p那么，当pv丄时级数收敛；当p丄时级数发散。nTa U ng U22aa +1推论 对于正项级数工u，如果limUa+1 = 1且limU2a = p存在，那么当pv 时 anTg unTg u2aa1级数收敛；当p2时级数发散。由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关 系问题。为此先看一个具体例子。例3讨论级数Y竺的敛散性n!解：首先难
6、验算有lim =卄=1，所以达朗贝尔审敛法失效，考虑改用推广比值审 ns Un敛法。先用隔项比值审敛法，因为e (1+丄)” =，因此上I 上莘，即使nnnn !enn +1 丿!e“+iu unn +1在利用斯特林公式n! =迈而(-)nel：(09 n* un* (2n)!e2nn n*nen(2n)!nen 22兀(2n)-(2n)2ne-2n22所以所给级数发散。如果对于本题直接用双比值审敛法，则需要计算两个极限，运算较为繁琐。由于已知limUn+1 = 1，因此改用审敛法的推论，只需要推出limU2- 丄，计算过s umg u2nn程与第一种方法相同。但免去了证明级数项的递减性。由此
7、可见，虽然双比值审敛法比隔项审敛法的形式复杂，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现limU = 1的情况时，如果改用双比值审敛法的推 s un论，可以不必考虑级数的项是否递减。也就是说，这时双比值审敛法的实用性更 好一些。反之，当容易证明正项级数的项具有递减性时以及U2n比4 的极限更uunn容易计算时，就适宜应用隔项比值审敛法。一般说来，这两种推广比值审敛法不能互相代替，同时也难以比较它们的强弱。因为，如果limU2n = p且 u 递减，则一般并不能推出lim乩存在并等于ns Unnnx Un=p = lim 2 n 11=P 存在，则 u 并不一定递减。nP；反过来，如果lim U
8、2nns Un五. 推广比值审敛法与常规审敛法的比较我们知道，例 3 也可以用拉贝审敛法判定其发散性。因此我们自然要考虑上面的推广比值审敛法与拉贝审敛法之间的强弱问题。也就是要问，对给定的正项级数。如果能用某个推广比值判定法判定敛散性，是否一定能用拉贝审敛法？或 者反过来，能用拉贝审敛法确定敛散性的正项级数是否必定可用前者判定法判 定。这一问题比较复杂，所以本文只给出下面的一些结果。命 题 1 设 u 0 ，n如果 i i（-ns un+1+8-8p +8 ）n T8 Un证明当-8 p 0，由条件，对一切充分大的n都有p- n（2上l -1） p + （ 1）记p = p-，则不难知道，量l
9、imU2nT8n+1于函数(1+ x)p在点x=0的导数，也就是数p。， 所以 对充分大 的n，1- p-2从而-p -2n（1+ 丄）p-二（1+丄）p 1 + （1+ ）p-Unnn+1同理，当n充分大时，有上- 0充分小，由上述知有自然数N,使对一切nN,有(1+) Pn (1+ ) P+En u n n +1(1+占)。-eu (1+ un+2(1+2nh)p-eu2 n 1 u2n(1+2nh)p+e以上n个不等式相乘后再倒数得1 u 1 2n 0ns Un3自然数N1等，当n N时，有n(k - 1) - M un +1所以上- 1un+1MM 1 - n2 nun+1 1 un
10、+1n+2MM 1 -2nuM2 n-1 1 u2n -1n+21 - M2nMM m又因为 lim(1-一)n = lim(1- ) N时有（1-一）-Mn e 2u 小 M、一，此时 o f (1-)n 0，3 自然数N 二 maxN ,N ，当 nN 时，有o f (1 一) 0,则当n充分大时，有n(上l-1) 0，从而有u u ，这n* UUnn+1n +1n +1从另一个侧面说明了拉贝审敛法与隔项比值法具有一定的内在联系。六. 总结：由以上可知，达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法是正项级数常规判敛法中应用较 为广泛，实用的两种审敛法，自然对于正项级数来说还有很多的判敛方法，本文 只对达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法这两种较为经典的审敛法与推广比值审敛法 来进行对比总结。相对的来说，拉贝审敛法比达朗贝尔审敛法更为实用，文上所给例 2 判断级数1+n=1 (2n)! 2n+1的敛散性。因为 x =n(2n -1)!口 1(2 n)!2n +1nslim(2n +1)2ng (2n + 2)(2n + 3)=1由此可见此时达朗贝尔审敛法已不可用，但可用拉贝审敛法得出：xn (6 n + 5) 3lim n (n 1) = lim= 1ns Xns 2n
