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1、镜像法的总结关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定?或n?的值，而不能同时给定两者的值。 镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。 二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电
2、荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对
3、空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上. 设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得0Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r 为Q 到P 的距离, 则r Q r Q=常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使O Q P O P Q? , 则 1R r r a=常数 (2)图1 设b 为Q 到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q 的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P
4、 的电势为 10011()44QR Q r r a ?=-= (5)根据电势与电场强度的关系式E ?=-?, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。 三、镜像法求无限大导体平面电场在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为0z ；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。 导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但
5、感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h -，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。这种情况，对于0z 的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z 区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对0z 区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h -点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称
6、为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程： 20q ?=(除点外) （3.2）边界条件为： ,0R ? （3.3）图3.2.1 导电平面上方的点电荷 图3.2.2 点电荷的镜像电荷 图 3.2.3 点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷0,0z ?= （3.4）在(0,0,)h -处放一镜像电荷q q =-来代替导体表面上感应电荷的作用，并将0z 区域换成真空。判断能否代替的标准是看代替后在0z 区域内所产生的场是否仍
7、满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、(3.4)。q 与q 在0z 的区域内产生的电位为 0011()44q q R R ?=+= （3.5）R 时，式（3.5），因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。同时，式（3.5）也满足式（3.4）的边界条件。 在0z 的区域内的电位为 0011()44qq R R ?=-=（3.6）式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.6)可求出上半空间的电场为33222222022114()()x qx E x x
8、y z h x y z h ?=-=-?+-+? 33222222022114()()y qy E y x y z h x y z h ?=-=-?+-+? 332222220224()()z q z h z h E z x y z h x y z h ?-+?=-=-?+-+?在0z =的平面上，0x y E E =，只有z E 即法向电场分量n E 存在，亦即322220(,0)2()n z qhE E x y x y h -=+根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为0322222()s n qh E x y h -=+ （3.7）上式表明，s 在导体表面上并不是均匀分布的，
9、但它的总感应电荷为322222()s s qh dxdy q dxdy q x y h -=-=-+? （3.8）感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的，因为点电荷q 所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。另据一个例子，两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q ，如图3.2.4()a 所示。求直角区域中的电位分布。建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy 平面，设其坐标为(,0)a b 。现在，待求场区为0,0x y 的区域，边界面为0x =面与0y =，在边界面上电位为零。容易看出，对于如图3.2.4()b 所示的空间有相对坐标面
10、对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。因此，可通过这四个点电荷求解待求场区的场，即012341111(,)()4qx y z r r r r ?=-+-式中，1r =234r r r =镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成n=(n 为正整数)的两个接地导体平面间的场（2,3,4,n = ），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为21n -。 四、镜像法对点电荷在双层介质引起的电场镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图130所示，平面分界面S 的左、右半空间分别充满介电常数为1与2的均匀介质，在左半空间距S 为d 处有一点电荷q ，求空间的电场。设左半空间电位为1?，右半空间电位为2?。这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q 和在像点的像电荷q所产生(这时介电常数1的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q题6图 图3.2.4 直角区域中的点电荷和镜像处的像电荷q单独产生(这时介电常数为2 的介质布满整个空间)。 故两介质中的电位表达式为 （180）（181） （182）（183）
