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1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列 通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f (n + 1)- f (n)=a (其中a为常数)形式，根据等差数列的定义知f (n)是等差数列，根据 等差数列的通项公式，先求出f (n)的通项公式，再根据f (n)与a，从而求出a的通项公 式。例113a在数列a 中，a =，a = 匸n 1 2n +1 a + 3n(n e N +),求数列a 通项公式.n3 anL得n+1 a +3n设b =
2、十，则b - b= 1，根据等差数列的定义知， ann+1 n 3数列b 是首相b =2，公差d= +的等差数列，n13根据等差数列的通项公式得b =2 + + (n-1 ) =1 n+ 53解析：由 aan+1 n n+1 na =3 a -3 a =0，两边同除以an+1a 得，-丄=+ ,nan +1an3n3./数列通项公式为a= n+5评析：本例通过变形，将递推公式变形成为1aan+1n-A形式，应用等差数列的通1项公式，先求出的通项公式，从而求出a的通项公式。 ann例2在数列a 中，S是其前n项和，且S工0, a=1,1解析：当n22时，a=S -Sn n n-1a = 2Sn2
3、 (n22)，求 S 与 an 2 Snn - 1代入a= +得，S-S = +，变形整理得S-S =SSn 2 Sn n-12 Sn n-1 n n-1n-1n -1n。两边除以S S得，tn n-1Snn -1=2，./十是首相为1,公差为2的等差数列 S/. +=1+2 (n-1) =2n-1,Sn当 n22 时，a =S -S 二一n1/.a =n21n-12 n-1n = 1/ S=n二2n-3Sn+ (n22),n=1 也适合，/.S 二十(n21) 2 n -1n 2 n-1:24n2 -8n+3， n=1 不满足此式，4n2-8n+3评析：本例将所给条件变形成f (n +1)
4、- f (n) = A，先求出f (n)的通项公式，再求 出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f(n+1 =Af (n)(其中A为非零常数)形式，根据等比数列的定义知f (n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f (n)的通项公式，再根据f (n)与a，从而求出a的通项公式。nn例3在数列a 中，a =2，a=a 2(nM2)，求数列 a 通项公式。n1n n-1n解析：a =2，a=a 2(nM2)0,两边同时取对数得，lg a=2lg a1n n-1nn-1/. S =2，根
5、据等比数列的定义知，数列 lg a 是首相为lg2，公比为2的等比数lgan-1n列，根据等比数列的通项公式得lg a=2n-ilg2= lg22n-1n/数列通项公式为 a=22n-1评析：本例通过两边取对数，变形成log a = 2log a 形式，构造等比数列log a ,nn -1n先求出log a的通项公式，从而求出a的通项公式。 n例 4在数列 a 中，n 解析：设 a +A(n+1)n+1na =1, a =4a +3n+1，求数列 a 通项公式。1n+1 nn+B=4 (a+An+B), (A、B 为待定系数)，展开得 a =4a+3An+3B-A, nn+1 n与已知比较系数
6、得3B - A 二 1B = 23+ (n+1) +乞=4 (a +n+今)，根据等比数列的定义知，3n 3数列 a +n+ 2 是首项为8，公比为q=3的等比数列，： a +n+仝-4 X 3n-in 33n 33:数列通项公式为a =- X3n-i-n-乞n 33评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5在数列a 中，a=1 ,解析：.an+1na a=4nn+1 n1. aa =4n n-1. a ， a ， a 与135又 Va =1， a a =4n1n+1 n. 4 写 n a =n4 nn2a ， a ， a2 4 6 ，. a=42a a=4n ，求数列 a 通项公式。n+i
7、nnn-1两式相除得 n + 1 =4 ，n -1是首相分别为 a， a ，公比都是 4的等比数列，1 23 A 二 3 A = 1练习：1.已知数列an+1na，求an +1 n nan解：由条件知一士 = ，分别令n 1,2,3,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式累乘a n +1n之，即aaaa123n 1a1/Iyzz .n24 n入入入aaaa2 3 4nan123n 1122又 t a ，a -13 n3n解：由条件知匚 ，分别令n 1,2,3,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式累乘 a n +1n2-数列a 满足a =1n11a = a +1n 2 n 1(n$2),求数列
8、a 的通项公式。n解：1由 a = a +1n 2 n 11(n$2)得 a 2二一n2a 2)，n1而 a 1 2=1 2= 1 ，之，即aaaa123n 1a1/I a .VVV .n24ZX ZX 人入aaaa2 3 4nan123n1122又 t a ，a -13 n3n1数列 a 2是以三为公比，一1为首项的等比数列n21a n 2=( 2，n-11a n =2-( 2)1数列 中a = 1, a = 2,3a= 2 a+ a12n+ 2n+1n求数列 的通项公式。n解：由 3a= 2a+ a 得a= a + 1 a ,设a 一 ka = h（a 一 ka ）n+2n+1nn+23n
9、+13 nn+2n+1n+1n2111比较系数得 k + h = , kh =，解得 k = 1, h =或 k = , h = 13333若取k = 1, h =，则有a3n + 21a一 a 是以一为公比，n +1n3=（1、=（一 3） n 一1=（a 一 a ） + （a 一 a ） +.+ （a 一 a ） + ann1n1n2211a =一一 （a a ） n +13n +1n以a2 -a1 = 2-1 =1为首项的等比数列/. a 一 an +1n由逐差法可得an=（一 3）n 一2+（一 3）n 一3+（一 3）2+（一 3）+1+11 （ ） n-1+ 13_3=41 - （
10、-!） n-1+ 1 二 737 - 3 X （- 1） n一 14434-设各项均为正数的数列匕的前n项和为S，对于任意正整数 n，都有等式: a 2 + 2a = 4S成立，求L 的通项an.nn nn解：a 2 + 2a = 4S n a 2 + 2a = 4S ，nnnn1n1n1a2 a2 + 2a 2a= 4（S S ） = 4a: a a 2.即匕是以2为公差的 n n-1nn 一1nn 一1nn 一1nnn 一1（a + a ）（a 一 a 一 2） = 0，丁 a + a 丰 0，nn 1nn 1nn 1等差数列，且a2 + 2a = 4a n a = 2.1 1 1 1a
11、= 2 + 2（n 一 1） = 2nn形如a =p a +q （pn+1n+k=p （a +k）与原 n+1n(1) 通过分解常数，可转化为特殊数列a +k的形式求解。一般地，n壬1，pq壬0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设aq式比较系数可得pkk=q，即k= ，从而得等比数列a +k。p 1n(2 )通过分解系数，可转化为特殊数列a - a 的形式求解。这种方法适用于nn1a = pa + qa型的递推式，通过对系数 p的分解，可得等比数列a -a :设n+2n+1nnn 1a ka = h(a ka )，比较系数得 h + k = p,hk = q，可解得 h, k。n
12、+ 2n +1n +1n3、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种 适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”. 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.(1)构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列 或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（2）构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这 一数列的通项公式.（3）构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法。（4）构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
