《旋轨耦合.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《旋轨耦合.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电子的自旋-轨道作用在这篇文章里，我们会以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。我们会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶微扰理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但也相当的符合。更严峻的导引应该从狄拉克方程开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。磁场让我们先计算磁场。虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ，并没有磁场；在电子的静止参考系，有磁场存在。暂时忽略电子的静止参考系不是惯性参考系，则根据狭义相对论磁场 B是(1)其中V是电子的速
2、度， E是电子运动经过的电场，c 是光速。以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是其中， Z是质子数量（原子序数）e是单位电荷量， 是真空电容率，r 是径向单位矢量， r是径向距离，径向矢量 r 是电子的位置。电子的动量 P 是所以，作用于电子的磁场是其中， L是角动量， 。B是一个正值因子乘以L ，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。磁矩电子的磁矩u是 其中， 是回转磁比率 (gyromagnetic ratio) ， S是自旋， gs是电子自旋g因子， qe是电荷量。电子的 g-因子是 2 ，电荷量是 -e 。所以，电子的磁矩与自旋反平行。哈密顿量微扰项目自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目
3、是代入u的公式 (3) 和 B 的公式(2)，经过一番运算，可以得到一直到现在，我们都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应，必须添加因子 1/2在公式里。所以， 。编辑 能级位移在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后，我们现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，我们想要找到H0的本征函数形成的基底，使H能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符J：总角动量算符与自己的内积是所以，请注意 H 与 L 互相不对易，H 与 S 互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实， H0与L的
4、共同本征函数不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 E(1) 。H0 与 S 的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移E(1) 。可是，我们可以证明，这四个算符都互相对易。这四个算符也都互相对易。所以，这四个算符的共同本征函数 可以被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 ；其中， n 是主量子数，j 是总角量子数， l是角量子数， s是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是我们想要寻找的基底。这共同本征函数 的 的期望值是其中，电子的自旋 。经过一番繁琐的运算2，可以得到 的期望值其中， 是玻尔半径。将这两个期望值的公式代入，能级位移是 经过一番运算，可以得到
5、其中， 是主量子数为 n 的零微扰能级。特别注意，当 时，这方程会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 也等于零。零除以零，我们仍旧无法计算这方程的值。很幸运地，在精细结构能量微扰的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当l=0时，电子的轨道运动是球对偁的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来，l=0球谐函数是完全不相依于角度。角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场。所以，电子的 轨道没有自旋-轨道作用。不加外磁场时，原子在两个能级E1和E2（E1E2）之间跃迁的能量差为原子核的磁矩比电子磁矩小大约三个数量级。如果只考虑电子的磁矩对原子总磁矩的贡献，那么磁场引起的附加能量为这里将磁感应
6、强度B的方向取为z轴方向，Z是磁矩在z方向上的投影。mJ是电子总角动量J在z方向投影的量子数，可以取-J,-J+1,J-1,J共2J+1个值，gJ是电子总角动量的朗德因子，B是玻尔磁子。这样，原子的每一个能级分裂成若干分立的能级，两个能级之间跃迁的能量差为：对于自旋为零的体系有。由于跃迁的选择定则，频率只有三个数值：因此一条频率为的谱线在外磁场中分裂成三条谱线，相互之间频率间隔相等，为。洛伦兹应用经典电磁理论解释了正常塞曼效应，计算出了这个频率间隔。通常把这个能量差的波数间隔称为洛伦兹单位，符号。镉的643.847nm（1D2态向1P1态的跃迁）谱线在磁场不太强时就是表现出正常塞曼效应。这两个态的g都等于1，在外磁场中，1D2分裂成5个子能级，1P1分裂成3个子能级，由于选择定则，这些子能级之间有9种可能的跃迁，有3种可能的能量差值，所以谱线分裂成3条。
