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1、精品精品资料精品精品资料2.2.1等差数列1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用3理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用1等差数列的概念一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的差都等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示定义法判断或证明数列an是等差数列的步骤：(1)作差an1an，将差变形；(2)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1,2,3，下列结论中正确的是()A它一定是
2、等差数列B它一定是递增数列C它一定是有穷数列D以上结论都不一定正确2等差数列的通项公式如果一个等差数列an的首项为a1，公差为d，则通项公式为_(1)等差数列通项公式的其他形式anam(nm)d；ananb(a，b是常数)(2)等差数列的判断方法定义法：anan1d(n2)或an1and数列an是等差数列；等差中项法：2anan1an1(n2)数列an为等差数列；通项公式法：ananb数列an是以a1ab为首项，以a为公差的等差数列【做一做21】已知数列an的通项公式为an2(n1)3，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为3的等差数列C是公差为5的等差数列D不是等差数列【做一做22】等
3、差数列1，1，3，89的项数是()A92 B47 C46 D453等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的_x，A，y是等差数列的充要条件是_(1)a，A，b成等差数列的充要条件是：2Aab.当三个数成等差数列时，一般设为ad，a，ad；四个数成等差数列时，一般设为a3d，ad，ad，a3d.(2)在等差数列an中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an1，等价于anan22an1，an1anan2an1.【做一做3】在ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于()A30 B60 C90 D120一、解读等差数列的概念剖
4、析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2,4,5,9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十
5、分重要，切记不可丢掉二、等差数列的性质剖析：若数列an是公差为d的等差数列，(1)d0时，数列为常数列；d0时，数列为递增数列；d0时，数列为递减数列(2)d(m，n，kN)(3)anam(nm)d(n，mN)(4)若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.(5)若k，则aman2ak.(6)若数列an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1ana2an1ai1ani.(7)数列anb(，b是常数)是公差为d的等差数列(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为md的等差数列(9)若数列bn也为等差数列，则an
6、bn，kanb(k，b为非零常数)也成等差数列(10)若an是等差数列，则a1，a3，a5，仍成等差数列(11)若an是等差数列，则a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，仍成等差数列用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a8a2a6，a1a3a4a2a6，就不一定正确三、教材中的“？”(1)通项公式为ananb(a，b是常数)的数列都是等差数列吗？剖析：通项公式为ananb(a，b为常数)的数列都是等差数列，其公差为a.(2)怎么证明A？剖析：x，A，y成等差数列，AxyA，即2Axy.A.(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？剖析：因为
7、等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件题型一 等差数列定义的应用【例1】判断下列数列是否为等差数列(1)an3n2；(2)ann2n.分析：利用等差数列的定义，即判断an1an(nN)是否为同一个常数反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an1an得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列题型二 等差数列的通项公式【例2】(1)求等差数列10,7,4，的第20项(2)201是不是等差数列5，9，13，的项？若是，应是第几项？分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解反思：求等差
8、数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题，利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法，应牢记等差数列的通项公式题型三 等差数列性质的应用【例3】数列an为等差数列，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列an的通项公式分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用a1，d建立方程组来求解但是，注意到a2，a5，a8及a3，a5，a7的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质来求解，此法运算量较小反思：在有关等差数列的问题中，若已知的项的序号成等差数列，则解决问题的过程中，均可考虑利用等差数列的性质题型四 构造等差数列求通项公式【例4】(1)数列an的各项均为正数
9、，且满足an1an21，a11，求an；(2)在数列an中，a11，且满足an1，求an.分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求an.反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等题型五 易错辨析【例5】已知b是a，c的等差中项，且lg(a1)，lg(b1)，lg(c1)成等差数列，同时abc15，求a，b，c的值错解：因为b是a，c的等差中项，所以2bac.又因为abc15，所以3b15，所以b5.设a，b，c的公差为d，则a5d，c5d.由题可知2lg(b1)lg(a1)lg(c1)，所以2lg 4
10、lg(5d1)lg(5d1)所以1625(d1)2.所以(d1)29，即d13.所以d4，所以a，b，c分别为1,5,9.错因分析：解方程(d1)29时，d1应取3两个而错解只取d13，漏掉了d13的情况【例6】已知两个数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为an3n2，bn4n1(1n100)令anbn，得3n24n1，即n3.所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同例如23在数列an中是第7项，而在数列bn
11、中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A2 B3 C6 D92在等差数列an中，a33a8a13120，则a3a13a8()A24 B22 C20 D83若数列an的通项公式为an6n7，则这个数列_(填“是”或“不是”)等差数列4在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.答案：基础知识梳理1第2项同一个常数公差d【做一做1】D2ana1(n1)d【做一做21】A已知a17，anan12(n2)，故这是一个以2为
12、公差的等差数列【做一做22】C由已知，得a11，d(1)12，an1(n1)(2)2n3.令2n389，得n46.3等差中项2Axy【做一做3】B典型例题领悟【例1】解：(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列【例2】解：(1)由a110，d7103，n20，得a2010(201)(3)47.(2)由a15，d9(5)4，得数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1.设4n1201成立，解得n50.所以201是这个等差数列的第50项【例3】解：a2a82a5，a2a5
13、a83a59.a53.a2a8a3a76.又a3a5a721，a3a77.由解得a31，a77或a37，a71.a31，d2或a37，d2.由通项公式的变形公式ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.【例4】解：(1)由an1an21，可得an1(1)2.an0，1，即1.是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)n.ann2.(2)由an1，可得，是首项为1，公差为的等差数列1(n1).an.【例5】正解：因为b是a，c的等差中项，所以2bac.又因为abc15，所以3b15.所以b5.设a，b，c的公差为d，则a5d，c5d.由题可知2lg(b1)lg(a1)lg(c1)，所以2lg 4lg(5d1)lg(5d1)所以1625(d1)2，即(d1)29.所以d13，即d4或d2.所以a，b，c三
