第一章预备知识

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1、第一章 预备知识数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学， 给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。 爱因斯坦 为了不同数学基础的同学能在同一起点学习本课程的内容做好必要的准备，在学习本课程内容之前，我们先安排了在经济数学中常用的一些初等数学知识的复习，数学基础好的同学可跳过本章，直接进入下一章的学习。第一节 集合与区间一、 常用集合的有关符号表示空集。 表示非负整数集，即自然数集。表示正整数集。 表示整数集。表示有理数集。 表示实数集。表示集合是集合的子集。 表示集合与集合的并集。表示集合与集合的交集。 表示属于集合不属于集合的集合。二、 区间(一

2、)、将满足不等式的所有实数组成的集合叫做以为端点的闭区间，记作。即=。(二)、将满足不等式的所有实数组成的集合叫做以为端点的开区间，记作。即=。(三)、将满足不等式的所有实数组成的集合叫做以为端点的左开右闭区间，记作。即=。(四)、将满足不等式的所有实数的集合叫做为端点的右开左闭区间，记作。即=。 以上定义的四个区间统称为有限区间。以下定义的五个区间统称为无穷区间。(五)、表示满足不等式的全体实数。(六)、，表示满足不等式的全体实数。(七)、，表示满足不等式的全体实数。（八）、，表示满足不等式的全体实数。（九）、，表示全体实数。其中读作“正无穷大”，读作“负无穷大”。第二节 基本初等函数的图象

3、及其基本特征 一、基本初等函数基本初等函数是指以下的六类函数，在中学这些函数已经学习过，这一节我们将其归类进行总结。为了后面经济数学的学习，有必要了解和掌握好它们。 (一)、幂函数y=xa（a为任意常数)y=xa的定义域和值域因a的不同而不同，但在(0，+）内都有定义，且图形经过点(1，1)图1.2.1给出了常见的几个幂函数的图形 图1.2.1幂函数与分式、根式有如下关系：幂函数表示分式表示根式表示 根据上述关系，幂函数和分式、根式可以互相转换。例如：幂函数转换成分式、根式： （二）、指数函数，且）定义域是,值域是（，）。它的图象过点（，1）且全部在轴上方，当时，图象是减函数且无界；当时， 图

4、1.2.2图象是增函数且无界。（如图1.2.2）特别值得注意的是指数函数与幂函数的区别： 在幂函数中，底数为自变量，指数是常数而在指数函数中，底是常数，指数为自变量。 (三)、对数函数其定义域是（，+），值域为图象过点（1，）；当时，图象在（，+）上是减函数且无界；当时，图象在（，+）是增函数且无界（如图1.2.3） 图1.2.3注：（1）对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于对称。 （2）以无理数为底的对数函数叫做自然对数函数，简记，在实际问题中常遇见，是微积分中研究的重要函数之一。（三） 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数六个函数。我们将它

5、们的图象和常用的主要特征归类如下。1、正弦函数（如图1.2.4） 其定义域是（），值域为，所以是有界函数；图象关于原点对称，是奇函数。2、余弦函数（如图1.2.4）定义域为（）；值域为， 图1.2.4是有界函数；图象关于轴对称，是偶函数。 3、正切函数（如图1.2.5 a） 定义域是 的一切实数，值域为（），是无界函数，图象关于原点对称，为奇函数。4、余切函数 （如图1.2.5 b）定义域为的一切实数，值域为（），是无界函数， 图象关于原点对称，为奇函数。图1.2.5关于函数和我们不作详细讨论。(四)、反三角函数常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数四个：反正弦函数

6、反余弦函数、反正切函数 反余切函数关于反函数的性质我们在这里不再累述。二、常用的三角函数公式为了便于后面的学习，我们将特殊三角函数的值和后面学习中常用的三角函数公式列表如下，以供查阅。（一）、同角三角函数关系公式：1、， 2、3、（二）、倍角公式的几种表示形式：1、2、 3、 4、（三）、积化和差1、2、3、4、（四）、特殊三角函数值表：1111第三节 方程和不等式 在日常生活和实际工作中，常遇到一个或多个变量之间的关系用等号或不等号联系起来，怎样通过已知数量求未知数量，这就是本节要讨论的方程和不等式。一 、 方程能够使方程左右两边相等的未知量的取值叫做方程的解。含有一个未知量的方程的解叫做方

7、程的根。求方程的解的过程叫做解方程。(一)、一元一次方程形如的方程叫做一元一次方程。化成，得到方程的解。(二)、一元二次方程只含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的方程叫做一元二次方程，它的一般形式：一元二次方程的解法主要有因式分解法和公式法。一元二次方程的求根公式：。 下面举例说明求一元二次方程根的因式分解法和公式法例1.3.1 解方程解一：原方程分解因式化为：则有 解得： 为原方程的根 解二：，所以 ，由公式法得：=从而得到原方程的两个根为 。二、直线方程形如的二元一次方程的图形是一条直线（其中不能同时为零）。特别地：当时，表示过点且平行于轴的一条直线。当时，表示过点且垂直于轴的一条

8、直线。本书中求直线方程常用的方法：1、已知直线的斜率和直线上的一点，由直线的点斜式，可写出方程：2、若直线平行于轴，且过点，则有：3、若直线平行于轴，且过点，则有：三、不等式能够使不等式成立的未知量的值叫做不等式的解。(一)、一元一次不等式含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似。例1.3.2 解不等式 解：去分母得：去括号得：移项，合并得： 即：(二)、含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。同时满足不等式组中每一个不等式的解，叫做这个不等式组的解。例1.3.3 解不等式组解：由

9、第一个不等式得：由第二个不等式得：所以不等式组的解为：(三)、一元二次不等式含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的不等式，叫做一元二次不等式。解一元二次不等式常与解一元二次方程结合在一起，具体解法见下表： 有两不同实根有两个相等实根无实根解为：解为：的全体实数解为：全体实数解为： 例1.3.4 解不等式 解 解方程 得两个不等实根 ，所以不等式 的解为数学实验一 Mathematica入门看到“数学实验”几个字人们会问：做数学题不是靠一张纸、一支笔就行了吗，怎么像物理、化学一样要做实验了呢？对了，这是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物，是数学教学体系、内容和方法改革的一项尝试。几

10、年前，设置数学实验课的构想一出现，立即在数学教育界引起反响。1995年在原国家教委组织实施的“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”计划中，“理科非数学类专业高等数学课程体系和内容改革”项目的总体构想报告，就把“数学实验”列为高校非数学类专业的数学基础课之一，一些学校积极创造条件准备付诸实施。开设数学实验课主要是培养学生综合运用数学知识分析和解决实际问题的能力。数学实验的基本内容是数值计算，符号演算，图形描绘，还有取自应用领域的各种实际问题和科学研究中的基础问题，介绍如何通过建模方法将实际问题转化为数学问题，讲述解决问题的方法，包括解析的方法和数值的方法，并且介绍各种常用的数学软件。通过

11、在计算机上做实验，使学生掌握用数值模拟的方法解决实际问题的全过程。本书中，我们主要选择高等数学中的一些基本问题作为实验内容，并采用数学软件Mathematica作为实验平台.Mathematica是由美国的Wolfram公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，以符号演算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的绘图功能.高等数学实验的大部分计算和绘图作业都需要使用Mathematica辅助完成.本书介绍的命令可以适用于Windows操作系统下的Mathematica4.0.下面介绍Mathematica4.0的具体用法：Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等

12、是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sinx,Conjugatez等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ,x y,2 Sinx等；乘幂可以用“”表示，如x0.5,Tanxy。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear变量名或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(yx+1/(2x);方括号表示函数，如Logx,BesselJx,1；大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x；双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a2,3、1,2,31=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一