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1、（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名： 题 号一二三 总 分总分人复分人得 分 得分评卷人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的 (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。2已知为四维列向量组，且行列式 ，则行列式 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。3设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量
2、组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。4对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是 (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；(B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；(C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；(D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。5设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。得分评卷人二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. 则 ， ， 。7设阶向量，；矩阵 ,且 ，则_ _。8已知实二次型正定
3、,则常数的取值范围为_。 9设矩阵，是中元素的代数余子式，已知，则 。10设，已知向量与线性相关，则 。得分评卷人三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11 (1) 求方程的根，其中 ；(2) 计算阶行列式。12设实向量，其中，矩阵(1) 试说明矩阵能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵； (3) 求行列式。13已知线性方程组 ，试讨论：(1) 取何值时，方程组无解； (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14. 设实二次型 ，求：正交变换，将化为标准型。15. 设的基为 ， 。(1) 试由构造的
4、一个标准正交基 ；(2) 求由基 的过渡矩阵；(3) 已知向量，求向量在基下的坐标。线性代数 期末试卷（A）参考答案一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A) 二、填空题 6-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9； 10. 1。三、计算题11（1），1，1，3，3； （4分）（2） 。 （10分）12(1) 为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (2分) (2) 因为，所以是的特征值。 又秩，所以是的另两个特征值。 设为对应的特征向量，则由，得对应的线性无关的特征向量，令则 。 (7分) (3) 的特征值为21=1，1+1=2，1+1=2，因此。 (10分)13(1)
5、 时， ，无解 (2分)(2)时，唯一解 (6分)(3) 时，无穷多解, 通解 。 (10分)14； (8分) 。 (10分)15(1),， （3分）(2) （6分）(3) （10分）注：本题答案不唯一，如，则， 密 封 线 内 不 要 答 题 （线性代数） （ B 卷）专业年级： 学号： 姓名： 题 号一二三 总 分总分人复分人得 分 得分评卷人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设的特征值为1，2，3，是行列式 中元素的代数余子式，则 （ ）a. ； b. ； c
6、. ； d. 6。2已知，则以下选项中正确的是 （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。3n维向量线性无关的充要条件是 （ ）a存在不全为零的数，使；b中任意两个向量都线性无关；c中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4设是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中为任意常数） （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。5已知矩阵，伴随矩阵，且有非零解，则 （ ）a. ； b. 或； c. ； d. 且。得分评卷人二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6设行列式 ，是中元素
7、的代数余子式，则 。7设是实对称可逆矩阵，则将化为的线性变换为_。8设矩阵有特征值6，2，2，且能相似于对角阵，则_ _。9已知是维实列向量，矩阵，为非零常数，则为正交矩阵的充分必要条件为 。10. 设，其中互不相同，则线性方程组的解是_ _。得分评卷人三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11计算阶行列式： 。12已知线性方程组 ，（1）试问：常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。13设，已知线性方程组有解但不唯一。试求：（1）的值； （2）正交矩阵为对角矩阵。14设矩阵的伴随矩阵，且。求矩阵。15已知线性空间的基到基的过渡矩
8、阵为，且 ，；试求：(1) 基；(2) 在基 下有相同坐标的全体向量。线性代数 期末试卷（B）参考答案一 选择题 1.b 2.d 3.c 4.a 5.c 二 填空题 6. 11； 7. ； 8. ； 9； 10. ； 三 计算题11. 。 (10分)12. （1） 无穷多解； 唯一解； 无解 （5分） （2） （10分）13. 解：（1）方程组有解但不唯一，所以，故。 （3分）（2） 特征值为 ，。 （6分）， 。 （10分）14由，有，得。 （3分）用，左右乘方程的两端，得 （6分） （10分）15（1）设,则，故，； （3分）（2）设所求向量的坐标为 ，则，即， 因为为可逆矩阵，得 ，由 （6分）得， （8分）故 （10分）第7页，共7页
