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1、专题04 方程与不等式 【知识点梳理】知识点1：二元二次方程组的解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不
2、等式的解我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不
3、等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式【题型归纳目
4、录】题型1：一元二次不等式的解法题型2：二元二次方程组的解法【典型例题】题型1：一元二次不等式的解法例1解不等式：【解析】由题意，所以原不等式的解为或.例2解不等式：；【解析】(1)可得，例3求下列不等式的解集.(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)解：原不等式即为，解得，(2)解：将原不等式变形为，即，解得或，(3)解：将原不等式变形为，解得，(4)解：对于不等式，故原不等式的解集为.例4求不等式的解集：(1)；(2)；【解析】(1)由，得，解得或，(2)由得，题型2：二元二次方程组的解法例1、方程组x-y=0x2+y=2的解是【答案】x1=-2y1=-2，x2=1y2=1【解析】方程
5、组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可x-y=0x2+y=2，+得：x2+x=2，解得：x=2或1，把x=2代入得：y=2，把x=1代入得：y=1，所以原方程组的解为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，故答案为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.例2、已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y=【答案】1或-7【解析】由题意得2y=-322x2+3y=23 ，解之得x=4y=-3 或x=-4y=-3 x+y=1 或x+y=-7 例3、
6、解方程组y=x+1x2-4xy+4y2=4【答案】x1=-4y1=-3，x2=0y2=1【解析】先将式左边因式分解，再将式代入，可求出x,再分别代入式求出y.解：y=x+1x2-4xy+4y2=4由得，x-2y2=4 ，把代入，得x-2x+12=4，即：x+22=4，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x1=-4,x2=0,把x1=-4,x2=0,分别代入，得y1=-3,y2=1.所以，方程组的解是x1=-4y1=-3，x2=0y2=1 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.例4、解方程组：4x2-4xy+y2=1x+2y=3【答案】x1=1y1=1,x2=1
7、5y2=75【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可详解：4x2-4xy+y2=1x+2y=3由得(2x-y)2=1，所以2x-y=1，2x-y=-1由、联立，得方程组：2x-y=1x+2y=3，2x-y=-1x+2y=3解方程组2x-y=1x+2y=3得，y=1x=1解方程组2x-y=-1x+2y=3得，x=15y=75所以原方程组的解为：y1=1x1=1，x2=15y2=75点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的式，代入式得一元二次方程求解例5、解方程组：x2+5xy-6y2=02x-y=1 【答案】x1
8、=613y1=-113,x2=1y2=1 【解析】试题分析：把方程变形为(x+6y)(x-y)=0，从而可得x+6y=0或x-y=0，把这两个方程分别和原方程组中的方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.试题解析：方程可变形为(x+6y)(x-y)=0， 得x+6y=0或x-y=0，将它们与方程分别组成方程组，得：（）x+6y=02x-y=0或（）x-y=02x-y=1 ，解方程组（）x=613y=-113， 解方程组（）x=1y=1 所以原方程组的解是x=613y=-113 ，x=1y=1 .例6、解方程组： x+y=3x2-4y2=0【答案】 x=2y=1和 x=6y=-3
9、【解析】由第一个方程得到 x=3-y，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 y，再回代第一个方程中即可求出 x解：由题意： x+y=3(1)x2-4y2=0(2)，由方程(1)得到： x=3-y，再代入方程(2)中：得到： (3-y)2-4y2=0，进一步整理为： 3-y=2y或 3-y=-2y，解得 y1=1， y2=-3，再回代方程(1)中，解得对应的 x1=2， x2=6，故方程组的解为： x=2y=1和 x=6y=-3【过关测试】一、选择题1.不等式组5x+23(x-1)12x-17-32x的所有非负整数解的和是()A. 10B. 7C. 6D. 0【答案】A【解析】解：5x
10、+23(x-1)12x-17-32x，解不等式得：x-2.5，解不等式得：x4，不等式组的解集为：-2.5x4，不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，故选：A分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键2.不等式组3x+722x-91的非负整数解的个数是()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】 先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答
11、案 本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键 【解答】 解： 3x+722x-91 解不等式 得： x-53 ， 解不等式 得： x5 ， 不等式组的解集为 -53xx+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：由不等式组x-42(x-1)12(x+3)x+1,解不等式得：x-2，解不等式得：x1，此不等式组的解集为：-2xx+1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法4.若关于x的一元一次不等式组2x-13(x-2)xm的解集是x5C. m5D. m3(x-2)，得：x5，不等式组的解集为x0，y-12B. k1C. 无解D. -12k0，y0k-1-12，解不等式得，k1，所以，不等式组的解集是-12k-1B. m1C. -1m1D. -1m1【答案】C【解析】【分析】 本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用 易得直线 y=-2x-1 关于 y 轴对称的直线为 y=2x-1 ，联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可
