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1、黑洞与弯曲的时空复习1. 黑洞研究黑洞最初被视为一颗死亡的星，被认为是恒星演化的最终归宿。起初，人们的着眼点只放在研究它的力学行为上。后来才突然发现黑洞有着丰富的内涵，它不仅有力学性质，而且有量子性质和热性质。黑洞不是一颗死亡了的星体，它有着丰富的生命力。黑洞不是天体演化的最终归宿，而是天体演化的一个中间阶段。最为奇妙的是，黑洞有温度，有热辐射，黑洞的表面积可以看作熵。黑洞具有负的热容量，发出热辐射后，自身温度不仅不降低反而会升高。因此，黑洞与外界很难形成稳定的热平衡。大黑洞温度很低，小黑洞具有极高的温度，最终会发生爆炸。研究表明，两个黑洞碰撞时，接触点的温度会降到绝对零度，而尾部会产生高温喷
2、流。2. 两大难题广义相对论的研究，特别是黑洞理论的研究，引导出物理学的一个基本困难奇点困难。奇点是时空曲率发散（无穷大）的地方，是时空的病态部分。目前认为，奇点本身不应属于时空。奇点可以看作时间开始或者终结的地方。彭若斯和霍金等人严格证明了一条奇点定理。该定理的内容可粗略表述如下：只要广义相对论正确，因果性良好，而且时空中至少有一点存在物质，那么这个时空就一定有奇点，或者说，就至少有一个物理过程，时间有开始，或者有结束，或者既有开始又有结束。他们似乎证明了，任何物理时空中的时间，都不可能是无限的。彭若斯和霍金证明了时间的有限性！奇点定理对物理学和哲学的影响是显而易见的。现代物理学的另一个重要
3、困难也来自弯曲时空的研究。多年的探讨表明，引力场量子化后不能重正化，其中有一些无穷大的项（发散部分）没有办法消除，即使采用现在的任何一种超对称、超引力和超弦方案也解决不了这一困难。“奇点困难”和“引力场量子化困难”，是目前摆在物理学工作者面前的两大难题，它们有可能把物理学导向一场新的革命。3. 发展前景这里，黑洞的研究最值得注意。它把热力学与时间弯曲联系起来。物理学中有两个规律比较特别，一个是广义相对论，另一个是热力学第二定律。所有的物理理论都把时空看作平直的，都认为时空是与物质和运动无关的背景，只有广义相对论认为时空与物质和运动不可分离，时空不是平直的，而是弯曲的。所有的物理理论（甚至包括广
4、义相对论）都认为时间是可逆的，只有热力学第二定律显示了时间演化的箭头。热力学与时空理论（广义相对论）的结合，很有可能是物理学革命的新起点。一、 对时空和宇宙的早期认识二、相对论与量子论（一）相对论的提出1. 麦克斯韦电磁理论2. 洛伦兹收缩，洛伦兹变换3. 爱因斯坦相对论（二）相对论的内容相对论以洛伦兹变换为核心。1. 同时的相对性2. 运动时钟变慢3. 质能关系4. 闵可夫斯基时空x0 = ct, x1=x, x2 = y, x3 = z在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标（微分元）一样变的量。例如，在c = G =1的自然单位制下（其中= h / 2），电磁场的电势和磁势Ai (i
5、 = 1，2，3)可构成洛伦兹变换下的四维矢量 （2.2.16）其中A0 =。J = (J0, J1, J2, J3)为四维电流密度矢量，其中J0 =为电荷密度，Ji( i = 1, 2, 3)为三维电流密度。所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力定律之外）和电磁学规律都可以写成张量方程。力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论。在相对论中，时间与空间构成一个不可分割的整体四维时空，能量与动量也构成一个不可分割的整体四维动量。（三）相对论的若干重要概念1. 世界线闵可夫斯基时空中的一个点，用(t, x, y, z)四个座标表示，称为一个事件。三维空
6、间中的一个点，不管是运动的还是不动的点，由于时间的不停发展，在四维时空中都会描出一根线，称为世界线。图231，z未画。三维空间，两点之间距离dl的平方dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2（2.3.1）dx 2 = ( x 2 x 1 ) 2, dy 2 = ( y 2 y 1 ) 2, dz 2 = ( z 2 z 1 ) 2四维时空中两点的“距离”表示为ds 2 = - c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 （2.3.2）ds通常称为两点的间隔。又可看作世界线的线元。当ds 2 = 0时，有2. 光锥时空中任选一点P，与P点的间隔类光的点组成的锥面，称为P
7、点的光锥，图232。光锥实际上是四维时空中的一个三维超曲面，图中略去了一维空间。内部，类时。未来，过去。面上，类光。外部，类空。相对论，无因果联系。类时矢量，类空矢量，类光矢量。图233。3. 固有时间与双生子佯谬定义（2.3.4）为此质点的固有时间。相对论认为，一个质点的固有时间是它经历的真实时间。当质点静止在S系中时，它的固有时间与S系的时间t（称为S系的坐标时间）一致。但是，如果质点不在S系中静止，而是在运动，那么dx，dy，dz都可能不为零。这时，从ds 2 = - c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 （2.3.2）可知 （2.3.5）v为质点在S系中的运动速度
8、。质点运动，其固有时间与S系的坐标时间并不一致。那么，哪一个是质点经历的真实时间呢？相对论认为，是固有时间，而不是坐标时间t。假如此质点是一个钟，它指示的时间是而不是t。（2.3.4），固有时间与s成正比。s表示世界线的“长度”，故也表示世界线的“长度”。因此，质点世界线的长度就是它所经历的真实时间固有时间。固有时间不依赖于选用什么坐标系，只依赖于质点（这个质点可以是一个观测者）自身描出的世界线的长度。4. 时空图与零曲面法矢量倒在超曲面内，并与其一个切矢量重合的现象在黑洞研究中极为重要。我们称这样的超曲面为零超曲面，简称零曲面或类光曲面。它的法矢量称为零矢量或类光矢量。（四）量子论的进展1.
9、 量子力学的建立2. 相对论量子力学与狄拉克真空克莱因高登方程描述自旋为零的粒子。狄拉克方程描述自旋为1/2的粒子。克莱因高登方程存在负能困难和负几率困难。狄拉克方程避免了负几率困难，但仍存在负能困难。 狄拉克提出“真空不空”的思想，在泡利不相容原理的基础上克服了负能困难，并预言了正电子和反物质的存在。狄拉克认为，真空并不是一无所有的状态，而是能量最低的状态。也就是说，真空是所有正能态都空着，而所有负能态都被粒子填满的状态。注意，空着的负能态比填满时的能量要高。3. 二次量子化与量子场论三、弯曲的时空（一）广义相对论的物理基础1. 狭义相对论的困难(1) 惯性系所引起的困难(2) 万有引力所引
10、起的困难爱因斯坦把万有引力定律写成洛伦兹协变形式的任何企图都失败了。爱因斯坦提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。2. 广义相对性原理和马赫原理假定相对性原理和光速不变原理在任何参考系中都成立，而不仅仅只在惯性系中成立。这样，狭义相对性原理被推广为广义相对性原理：一切参考系都是平权的，即物理规律在任何坐标系下形式都不变广义协变性。光速不变原理适用的范围也从惯性观测者推广到任意观测者：任意观测者测量的光速都是c。马赫原理引导爱因斯坦找到了新理论最重要的一块基石等效原理。3. 引力质量与惯性质量相等4. 等效原理引力质量与惯性质量相等的推论是a = g。它表明引力场与惯性场等效，这称
11、为等效原理。5. 新理论的构想他把等效原理、广义相对性原理和光速不变原理作为新理论的基础。他觉得，新理论的基本方程应该有两个，一个描述质量如何使时空弯曲质量项 = 曲率项另一个描述弯曲时空中质量的运动。广义相对论实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。（二）黎曼几何中的张量1. 黎曼几何的建立2. 广义坐标变换弯曲时空不能建立大范围的直角坐标系，只能使用曲线坐标。曲线坐标系之间的变换一般是非线性、非正交的。我们称其为广义坐标变换。广义坐标变换下坐标微分元的变换关系 ，= 0，1，2，3（3.2.2）重复指标同样代表求和。3. 张量的定义张量是按坐标变换的规律来定义的，这是张量最根本的特点。定义
12、在坐标变换下不变的量为标量。() = u (x)（3.2.6） 在广义坐标变换下，像坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量 ，= 0，1，2，3（3.2.2），= 0，1，2，3（3.2.7）不难看出，(3.2.7)与(3.2.2)的变换规律一样。在广义坐标变换下，变换规律为 （2.2.8）的量，称为协变矢量。它的变换规律与偏导数相同 容易看出，逆变和协变矢量都由四个分量组成。在广义坐标变换下，也可定义逆变张量、协变张量和混合张量。有两个指标的张量称为二阶张量。有一个指标的矢量，称为一阶张量。没有指标的标量，称为零阶张量。存在二阶以上的张量，例如描述时空弯曲情况的曲率张量，它有四个指标。本节介绍
13、的张量是广义坐标变换下的张量，由于坐标变换非线性，变换系数不是常数，而是时空点的函数。我们只能在时空中逐点定义张量。不过，既然每一点都可以定义张量，那么，各点定义的同一个张量就可以构成一个张量场，每一点定义的同一个矢量也可以构成一个矢量场，当然每一点定义的同一个标量也可以构成一个标量场。这样，我们就可以把洛伦兹变换下的电磁矢量和张量推广到弯曲时空中，得到电磁矢量场和电磁张量场。4. 张量的运算和缩并A+ B= C（3.2.13）AB= D （3.2.14）张量有一种特殊的运算，叫做缩并。如果一个逆变矢量A与一个协变矢量B相乘，而且指标相同，则它们的乘积将变成标量AB= u （3.2.15）这种
14、运算叫做缩并。它类似于普通物理力学、电磁学中的矢量的内积AB = AxBx + AyBy + AzBz （3.2.16）运算的结果不再是矢量，而是标量。实际上，由于重复指标代表求和，（3.2.15）可表示成AB= A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3（3.2.17）与（3.2.16）非常相似。我们把矢量之间的缩并（3.2.15）称为矢量的内积或标积。二阶以上张量也可以做缩并运算，例如AB= C （3.2.18）缩并后成为一阶张量矢量。ABC= u（3.2.19）缩并成标量。总之，只要一个上指标与一个下指标相同，就发生缩并。同时要注意，缩并时出现重复指标，别忘了求和。5. 度规张量
15、把“间隔”的概念，从平直时空推广到弯曲时空。弯曲时空中的间隔，也是广义坐标变换下的不变量标量。现在来给出“间隔”与坐标微分元之间的关系。我们引进一个二阶张量g，使得ds 2 = gdxdx ,= 0，1，2，3 （3.2.29）注意重复指标代表求和，上式的右端一共16项。张量g与间隔的度量有关，称为度规张量，共16个分量，可用矩阵表示（3.2.30）它是一个对称张量，g= g。例如，g12= g21，g01= g10。所以，独立分量只有10个。度规是广义相对论的基本几何量（同时又是基本物理量）。确定了度规，就确定了时空曲率。所以，知道了度规，就了解了整个时空的几何性质。广义相对论的主要研究，都集中在确定和研讨时空的度规上。6. 能量
