《人教版 高中数学【选修 21】3.2.4用向量方法求空间中的距离课后习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版 高中数学【选修 21】3.2.4用向量方法求空间中的距离课后习题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019年编人教版高中数学第四课时用向量方法求空间中的距离课时演练促提升A组1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B.2C.D.解析:由已知可得A(1,1,-2),B(3,2,8).于是P,又C(0,1,0),故|=.答案:D2.如图,在直二面角-l-中,AC,BD,ACl,BDl,AC=1,AB=2,BD=3,则C,D两点之间的距离为()A.B.2C.D.解析:因为,所以|2=()2=|2+|2+|2+2()=12+22+32+2(0+0+0)=14,故|=.答案:C3.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C
2、1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.aB.aC.aD.a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.正方体的棱长为a,A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0).设n=(x,y,z)为平面MBD的一个法向量,则,令y=1,则z=2,x=-1,平面MBD的法向量为n=(-1,1,2).又=(a,0,a),点A1与平面MBD的距离d=a.答案:A4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则=(2,0,0),=(1,0,2),设A
3、BE=,则cos =,sin =.故A到直线BE的距离d=|sin =2.答案:B5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC中点,则M.AD1=CD1,MD1即为点D1到AC的距离.而|=,点D1到AC的距离为.答案:6.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.解析:建立如图所示的空间坐标系.则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D
4、(0,0,1).故=(1,1,0),则可求得平面EFD1B1的法向量为n=.又=(0,0,1),故d=.答案:7.如图,在二面角-l-中,AB,且ABl,CD,CDl,B、Cl,且AB,CD的夹角为60,若AB=BC=CD=1,求A与D两点间的距离.解:,|2=()2=|2+|2+|2+2(),AB=BC=CD=1,ABBC,CDBC,且AB,CD的夹角为60,=0,=|cos=11cos(180-60)=-,|2=1+1+1+2=2,即|=,故A与D间的距离等于.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,
5、BC=2,CC1=3,BE=1.求点C到平面AEC1F的距离.解:建立以D为原点,DA,DC,DF分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),故=(0,4,1),=(-2,0,2).设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,则令z=1得y=-,x=1.故n=.又=(0,0,3),故点C到平面AEC1F的距离d=.故点C到平面AEC1F的距离为.B组1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到ABC的重心G的距离为()A.2B.C.1D.
6、解析:建立如图的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),所以G,故|=.答案:D2.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为.解析:=(-2,0,-1),且n与l垂直,点P到l的距离为.答案:3.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD垂直.则B与D之间的距离为.解析:由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=,BM=,CN=,DN=.MN=1.,|2=()2=|2+|2+|2+2()=+12+2(0+0+0)=,|=.答案:4
7、.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD且ADC=90,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,1),A1(1,0,2),则=(0,2,0),=(-1,-,1),=(0,0,2).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=0,z=1.故n=(1,0,1).故A1B1到平面ABE的距离d=.答案:5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=60,AB=AA1=A1C1=1,求BC1.解:,|2=()2=|2+|2+
8、2=|2+|2.又BAC=60,AB=AA1=A1C1=1,BC=1,CC1=1.|=,即BC1=.6.已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F.设DH平面PEF,垂足为H,则=x+y+z=,(x+y+z=1).=x+y+-z=x+y-z=0.同理,x+y-z=0.又x+y+z=1,可解得x=y=,z=,(2,2,3).|=.故点D到平面PEF的距离为.(2)设AH平面PEF,
9、垂足为H.则,设=(2,2,3)=(2,2,3)(0),则+(2,2,3)=,=42+42-+92=0,即=.(2,2,3),|=.又AC平面PEF,AC到平面PEF的距离为.7.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC=90,PA=AD=2,AB=BC=1,问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.解:如图,以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),=(1,1,-2),=(0,2,-2).设直线PA上有一点M(0,0,z0),平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得所以n=(1,1,1),所以n0=.故点M到平面PCD的距离为d=|n0|=|2-z0|.令d=,可解得z0=3或z0=1.当z0=3时,M(0,0,3)在线段AP的延长线上,故舍去;当z0=1时,M(0,0,1)是线段AP的中点.综上可知,线段AP的中点到平面PCD的距离为.
