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1、第1节 函数的图象及性质一、知识框架1.函数的定义： 2.函数的表示法： 3.函数的性质：（1）函数单调性定义： （2）函数奇偶性定义： （3）函数周期性定义： （4）函数的对称性： 4.函数的图象(1)常见函数的图象（2）函数图象的变换（平移、对称、伸缩）二、基础自测1函数的定义域为 2.设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_ 3.已知是奇函数，若且，则_. 4.已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_5. 定义在R上的函数，对任意xR都有，当 时，则 6. 定义在上的偶函数, 当时, 单调递减,若 成立,则的取值范围是 7.已知函数满足对任意
2、的实数都有成立，则实数的取值范围为_8.某同学在研究函数f(x)(xR)时，分别给出下面几个结论：等式f(x)f(x)0在xR时恒成立；函数f(x)的值域为(1,1)；若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)；函数g(x)f(x)x在R上有三个零点其中正确结论的序号有_(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、典型例题例1（1）设，则满足的x的取值范围是 （2）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中.若，则的值为_（3）设函数的最大值为，最小值为，则_.例2（1）已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是 （2）函数的所有零点之和为 (3) 已知函数f(x)若关于
3、x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_ (4) 若函数，则函数在（0，1）上不同的零点个数为 例3. 已知定义在上的奇函数满足（1）求的值；(2)求证：函数的图象关于直线对称；(3)若在区间上是增函数，试比较的大小；(4)若满足（3）中的条件，且，求的值域。例4.已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)g(x2)成立，求实数m的取值范围四、巩固与提升1. 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)_.2.若函数在定义域上为奇函数，则 3. 设函数f(x)x|x|bxc，给出下列四个命题当c0，
4、yf(x)是奇函数；当b0，c0时，方程f(x)0只有一个实数根；yf(x)的图象关于点(0，c)对称；方程f(x)0至多有两个实数根其中命题正确的是_4.给出定义：若m2，求函数f(x)的最小值参考答案一、基础自测1 2. 3. 3 4. 5. 6. 7. a0，f(x)在(0，)上为增函数(2)a2x在(1，)上恒成立，即a2x在(1，)上恒成立设h(x)2x，则a1，h(x)0.h(x)在(1，)上单调递增h(x)h(1)3，故a3.a的取值范围为(，3(3)f(x)的定义域为x|x0，xR，mn0.当nm0时，由(1)知f(x)在(0，)上单调递增，来源:学_科_网mf(m)，nf(n
5、)故x2ax10有两个不相等的正根m，n.解得a2.当mn0时，可证f(x)a在(，0)上是减函数mf(n)，nf(m)，即x(0，)时，得nm，nm，而mn，故mn1，代入，得a0.综上所述，a的取值范围为0(2，)例5.解：(1)由题意可知，|xm|m|在4，)上有两个不同的解，而方程|xm|m|在R上的解集为x0或x2m，所以2m4且2m0.所以m的取值范围为2,0)(0，)(2)原命题等价于“f(x)在上的最小值大于g(x)在的最小值”对任意x1(，4，f(x1)min对任意x23，)，g(x2)min当mm210m9，解得1mm27m，解得3m4；当m4时，m4m27m，解得4m42
6、.综上所述，m的取值范围为.三、巩固提升1. 2. 3. 4. 5. lg 86.解：由于f(x)k在(，2上是减函数，所以关于x的方程kx在(，2上有两个不同实根，且kx0在(，2上恒成立，在上有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根令，则与在的图像有两个不同的交点，通过换元结合图象可得k.7.解：(1)设1x0，则0x1，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)，x(1,0)又f(x)为奇函数，f(0)f(0)，从而f(0)0；又f(x)f(x2k)，kZ，f(1)f(1)而f(1)f(1)，从而f(1)0，且f(1)0.综上所述，f(x)(2)证明：设0x1x20，即f(x1)f(x2). 从而f(x)在(0,1)上是减函数(3)由(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减，要使方程f(x)m在(0,1)上有解，需m2，xa，得x1，故f(x)在xa时单调递增，f(x)的最小值为f；当x0知，f(x)的最小值为a1.
