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1、第二章 数的运算第一节 数的整除知识梳理1.整除的意义数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。注意：（1)在讲数的整除时，我们所说的自然数，不包括零。 (2）除法里的“整除”和“除尽”是两个不同的概念。“整除”是指在自然数的范围内两个数相除，除得的商是整数，且余数为0的情况。“除尽”则被除数，除数，商不一定都是整数，可以包括小数在内。例如：15 =35。可以说15能被3整除，也可以说3能整除15。而15 =6 2.5，只能称除尽，不能称整除。2.约数和倍数从整数a能被整数b整除，又引出约数和倍数的概念：要正确理解约数和倍数，必须弄清下面两个问题：（1)约数和倍数是建立
2、在“整除”基础上的既相关又不同的两个概念，只有在具有整除关系的前提下才适用。 (2)约数和倍数是相互依存的，表示两个数之间的关系的两个概念，不能单独存在。因此不能说：30+65中，30是倍数，6是约数，而应该说30是6的倍数，6是30的约数。3.能被2、5、3整除的数的特征能被2整除的数叫做偶数，也叫做双数；不能被2整除的数叫做奇数，也叫做单数。判断一个数是奇数还是偶数，关键要看这个数能不能被2整除，为了进一步区分奇数和偶数，需要弄清以下问题：(1)所有的自然数不是奇数就是偶数。（2）最小的奇数是1，最小的偶数是2，没有最大的奇数和最大的偶数。 (3）在自然数中除了1以外，每个奇数的两个相邻数
3、都是偶数；每个偶数的两个相邻数都是奇数。4.质数和合数一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数。要知道一个数是不是质数，可以用检查约数个数的方法，也可以查质数表，下面是100以内的质数表。一个数除了1和它本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。 1不是质数也不是合数。要做到正确，熟练地判断一个数是不是质数，必须掌握以下方法：a.先找出所要判断的自然数的全部约数，然后根据质数与合数的定义进行判断。如果这个数只有两个约数，就可以断定它是质数。b.通过查质数表进行判断。5.质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表
4、示出来，叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法。例如：把14,138分解质因数。 分解质分解质因数要用以下方法进行检查和验算：（1)所分解出的因数中不能有合数或1。（2）把各质因数相乘，其结果应等于原来的合数。（3）表达的形式必须符合分解质因数的定义，把原合数写在等号的左边。6.最大公约数的和最小公倍数最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。如：18的约数有1,2 ,3 ,6 ,9和18：24的约数有：1,2,3,4,6,8、12和24，其中1,2、3、6既是18的约数，又是24的约数，6是最大的一个，则6是18和24的最大公约数。最小公倍
5、数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如：18的倍数有：18 ,36 ,54 ,72. 24的倍数有24 ,48 ,72 ,9618和24的公倍数中，最小的一个是72，72是18和24的最小公倍数。互质数与质因数的区别是：如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是这两个数的乘积。 一般地，求几个数的最大公约数、最小公倍数，通常用短除法。例题分析易混概念辨析：质数、质因数和互质数：
6、质数、质因数和互质数这三个不同的概念中，质数能独立存在，质因数和互质数不能独立存在，质因数是相对于某个数而言的，互质数是相对于两个数之间的关系而言的。拓展训练1.填空。 (1)在自然数范围内，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ），最小的自然数是（ ）。（2)公约数只有（ ）的两个数是互质数。 (3）在3和52两个数里，（ ）能被整除。（ ）是（ ）的约数，（ ）是（ ）的倍数。（4）10能被0.2（ ），40能被8（ ）。 (5）能被5、7、16整除的最小自然数是（ ）。 (6）14的约数有（ ），42的约数有（ ），14和42的公约数（ ），其中最大
7、公约数是（ ）。（7）4、12、16的最大公约数是（ ）。 (8)已知两个互质数的最小公倍数是123，这两个互质数是（ ）和（ ）或（ ）和（ ）。 (9）已知A222 3，B2235，A与B的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。（10）能同时被么3、5整除的最小三位数是（ ）。（11）1 -20的自然数中，奇数是（ ），偶数是（ ）；质数是（ ），合数是（ ），既不是质数又不是合数的是（ ），3的倍数是（ ），含有约数5的数是（ ）。（12）在1一10这几个数中，（ ）和（ ）这两个数既是合数，又是互质数；（ ）和（ ）这两个数都是质数，又是互质数；（ ）和（ ）一个是质数，一个是合数，
8、它们是互质数。（13）a与b是互质数，它们最小的公倍数是最大公约数的（ ）倍。（14）既是奇数又是合数的最小数是（ ）。（15）最小质数与最小合数的积是（ ）。（16）写出两个互质的合数（ ）。（17）写出两个互质的奇数（ ）。（18）写出两个互质的质数（ ）。（19）（ ）的最大约数是29，最小的倍数也是29。2.把下面各数分解质因数。 36 105 273 6303.求下面各组数的最大公约数。 5、10和20 26和78 14,28和844.求下面各组数的最小公倍数。 30,60和75 15和24 24,60和965.选择。（把正确答案的序号填在括号里）（1）自然数1是（ ）。 质数 合数
9、 奇数（2）一个质数的约数有（ ）。 一个 两个 三个（3）两个奇数的和（ ）。 一定是奇数 一定是偶数 可能是奇数，也可能是偶数 (4）既是质数又是奇数的最小的数是（ ）。 (1)1 (2) 2 (3)3（5)既是合数又是奇数的最小的数是（ ）。 (1)2 (2) 3 (3)9（6）6是36和48的（ ）。 约数 公约数 最大公约数（7）1042.5表示（ ）。 10能被4整除 10能被4除尽 10不能被4除尽（8）一个两位数，同时能被2和5整除，它的个位数字一定是（ ）。 (1)1 (2) 5 (3)0 (9）因为62 x3，所以2和3是6的（ ）。 质数 因数 质因数（10）能同时被2,
10、3,5整除的最大两位数是（ ）。 (1)90 (2)95 (3)99（11)一个奇数加上一个偶数，和一定是（ ）。 质数 偶数 奇数（12）两个数的（ ）的个数是无限的。 最小公倍数 公约数 公倍数（13）ab18，所以（ ）。 a一定能被b整除 b一定是a的约数 b可能整除a6.判断。（对的在括号里打“”，错的打“”）（1）凡是质数都是奇数。 （ ）（2)成为互质数的两个数没有公约数。 （ ）（3)两个质数一定互质。 （ ） (4）任何一个自然数的约数至少有两个。（ ）（5）任何整数a，必定有1和a两个约数。（ ）（6)两个数都是合数，就不可能是互质数。（ ） (7）能被2整除的数，既是偶数，又是合数。（ ）（8)两个质数的积一定是合数。 （ ）（9）把12分解质因数是12=122 3。 （ ）（10）一个质数只有两个约数。 （ ）（11）3是约数，12是倍数。 （ ） (12）在自然数中，除了质数，就是合数。 （ ）（13）两个合数，它们一定是互质数。 （ ）（14）24的全部约数有2、3、4、6、8、12、24。（ ）
