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1、十二. 概率与统计概率来自赌博及其他“未知”事件的预估丢骰子，我们猜1，2，3，4，5，6出现的百分率为，猜得对不对永远得不到证明，例如掷次，得 ，其中，若第次掷得“1”，我们取；掷不到1，取这样， 便是所得“1”的比时，不可能等于；“”只能是我们心中的“信度”：预期趋向无限大时，趋向只是吾生有涯，骰生亦有涯，这样的预期不可能得到证明，况且，可能有人做了手脚，使充分大时，逼近，而另外，如果骰子已掷，我用手盖住，偷看，知是2；你没看到，说1的机会或概率是不仅掷骰子，考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计，但不一定“准”：有测量或度量误差(measurement error)和概率风险或误
2、差(probability risk或errors)游子情主角子青曾在赌城拉斯威格斯（Las Vegas）时间：他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大，还是赌大小赢的机会大？这个问题有趣兼可悲七年后，真相大白，梅芳染上七年之痒，要离开他，能不能白首偕老不再是概率问题，赌大小则仍是概率问题： 例：掷两个公平的骰子，计算得大、小的机会 解：定义概率(probability)或样本(sample)空间(space) 是可能的结果，的子集为事件(event)，并用表示的元素数现在 ， ，得大的事件为 ，有15个元素： （例如 ） 设中各结果发生的概率相等：每个出现的概率都是 .故出现的概率为 ，小于 在赌场上
3、，赌大小一赔一，因此，赌客每赌一次在机会上都吃小亏，但往往赌本及赌注上限比“机会”更重要将赌注加倍再赌，小赢的机会增加，大输的机会也增加，输到没钱不能再赌，因此有钱人比较化算赌场赌大小设上限，用来保护庄家那天，上限未到，子青已无力再赌 任何一个概率（probability）都满足： （这里样本空间是有限集合）； （1） ； （2） ， （3）其中是空集（不含任何元素），表示并(union)，表示交(intersection)：或，及 例：证明 ， ， （4） 证明：回顾集关于集的余集(complement)是 因 （用）及 （用）相加，得 ，即 一般的情形可用数学归纳法证 证毕学问：有对夫妻，
4、各妻子扔一手帕，成堆，丈夫随意检回，至少有一人检回妻子扔的手帕的概率是多少？ 学答：设为丈夫检回自己妻子手帕的概率，则答案为视手帕为个位置，用上公式的符号得 ， ， ， ， ，故由（4）得 有些人觉得当人数增大时，答案会向零逼近理论上，因 ， ，大于63% 如果 ，我们说独立一般地，如果在事件中，任选，都有 ，则我们说独立(independent)或随机独立(stochastically independent) 例：掷两个公平铜板，以H表正面，T表背面，则样本空间为： 设 ，因骰子是公平的，故对任一个S的元素， 或： 及 故 ， ， ， ，所以两两独立，但不独立这说明了三个事件间的关系异于两
5、个事件间的关系 概率模型(probability model)建筑在已知的事件上有时事件必须伴着另一事件发生，其中已知或未知；这样，我们应计算发生的概率为保持的概率为1，我们单位化条件所引发的概率： ， 容易证明是概率，即满足(1)(3)为强调与相关，记为，而叫为在条件下的概率；叫为下的条件概率(conditionally probability)如果独立，易证 习题：用归纳法证 （5）其中. 学问：瓮含五绿珠，两黄珠；瓮含三绿珠，六黄珠请君入瓮，拿一珠，看到是黄色假设一切动作都是随机的，问珠来自的机会？ 学答：设 选到瓮，选到瓮，选到黄珠问题是： 如果给出，容易计算，： ，我们得想法将条件转
6、为条件： （） （用性质（3） 因 ，故 答毕 由上面字里行间的理得：贝氏法则：设，各，且, 两两不相交，则 前式里，,的秩序是任意的，因此容易(或不必)写出的公式， 注：贝氏即Rev.Thomas Bayes(17021761) 回到赌大小上，子青在赌博时凝神注视看和；它是一个在集上的实函数： ，样本空间上的实函数都叫随机变量(random variable)，它与一般函数不同的地方在于它对应一个概率函数(probability function)或： ，其中是事件的缩写搏彩时，庄家经常宣传时得奖，但不宣传对应的机会我们定义的平均值(mean)或期望值(expectation) 或： 各的和
7、 （6）易证 各的和 （7）为度量与平均值的差，我们引或；并叫它作的标准差(standard deviation)， 叫为的方差或变差 (variance)，记作： 各的和 （8）易证 （9）或更一般地， ， （10）如果我们用去估计，那么，叫偏倚或偏度(bias) 如果我们叫为平均误差(mean square error)或矛盾(contradiction)，那么， 相当于： 平均误差=方差+偏度平方因而起，是一种内在矛盾；则因对外而起：的值已同化或团结为平均值，与外来的相比，得矛盾这么想上式可写为： 矛盾=内在矛盾+外在矛盾这观念不具体化时叫矛盾论，具体化以后则叫方差分析(analysis of variance)，非常重要，这里所点的只是火种 下两不等式简单而有用：马尔可夫(Markov)氏不等式：设为非负随机变量，则对任意的正实数, （11） 证明： 各的和 各的和， 各的和， =，从而 注：马尔可夫即Andrei Andreevich Markov (1856)，他的数学成就导致随机过程(stochastic process)的诞生切贝谢夫(Chebyshev或Tchebichef)氏不等式：设是一个平均值为，方差为的随机变量，则对任意正实数，
