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1、近世代数试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“”，错打“”，每小题2分，共20分）1. （ ）循环群的子群是循环子群。2. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3. （ ）存在一个4阶的非交换群。4. （ ）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。5. （ ）无零因子环的特征不可能是2001。6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。7. （ ）模97的剩余类环Z97是域。8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9. （ ）域是唯一分解整环。10. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、
2、B是集合，| A |3，| B |2，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=的在G中的指数是 。3. 设G是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是 。4. 在模12的剩余环R=0, 1, , 11中，510 ，510 ，方程x21的所有根为 。5. 环Z6的全部零因子是 。6. 整环Z-3 不是唯一分解整环，因为它的元素 在Z-3 中有两种本质不同的分解 = 。得 分评卷人复查人三、解答题（共3分）1. 设S3是3次对称群，a=（123）S3（） 写出H的所有元素（） 计算H的所有左陪集和所
3、有右陪集（） 判断H是否是S3的不变子群，并说明理由2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,0)的所有子群及这些子群的生成元。3. 在整数环Z中，求由200，125生成的理想A=（2004，125）。四、证明题（共30分）1. 设G是一个阶为偶数的有限群，证明（） G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（） G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。2. 设是环（R，+，0，1）到环（，+，0/，1/）的同态满射。N=Ker=x|xR且（x）=0/, 证明：是同构映射当且仅当N=0。3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。近世代数试卷2（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G（a
4、）是6阶循环群，则G的子群有 。2. 设A、B是集合，| A |2，| B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。3. 在模12的剩余环R=0, 1, , 11中，105 ，105 ，方程x21的所有根为 。4. 在5次对称群S5中，（12）（145） ，（4521）1 ，（354）的阶为 。 5. 整环Z中的单位有 。6. 在多项式环Z11x中，（6x2）11 。二、判断题（对打“”，错打“”，每小题2分，共20分）1. （ ）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。2. （ ）一个阶是13的群只有两个子群。3. （ ）满足
5、左、右消去律的有单位元的半群是群。4. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。5. （ ）主理想整环R上的一元多项式环Rx是主理想整环。6. （ ）存在特征是2003的无零因子环。7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。8. （ ）模21的剩余类环Z21是域。9. （ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。10. （ ）除环只有零理想和单位理想。三、解答题（共30分）1. 设H（1），（123），（132）是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中
6、所有阶数是n的因数的元素的集合。试问：H是否是G的子群？为什么？3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。四、证明题（共30分）1. 设I1=4k|kZ, I2=3k|kZ，试证明：（1） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1I2=(12)是Z的一个主理想。 2. 设R、都是环，f是环R到的满同态映射，是的理想，试证明：Aa | aR且f（a）是R的理想。3. 证明，设S是环（R，0，1）的子环，N是R的理想，且SN0，则剩余类环RN有子环与S同构。近世代数试卷3（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G（a）是6阶循环群，则G的子群有 。2. 设A
7、、B是集合，| A | B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。3. 在4次对称群S4中，（24）（231） ，（4321）1 ，（132）的阶为 。4. 整环Z中的单位有 。5. 环Z6的全部零因子是 。6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为 ，子群H=的在G中的指数是 。二、判断题（对打“”，错打“”，每小题2分，共20分）1. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。2. （ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。3. （ ）素数阶群都是交换群。4. （ ）循环群的商群是循环群。5. （ ）模
8、27的剩余类环Z27是域。6. （ ）存在特征是2004的无零因子环。7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。8. （ ）域是主理想整环。9. （ ）域只有零理想和单位理想。10. （ ）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。三、解答题（共30分）1. 设H（1），（12）是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,0)的所有子群及这些子群的生成元。3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。四、证明题（共30分）1.设I1=2k|kZ, I2=3k|kZ，试证明：（1
9、） I1,I2都是整数环Z的理想。 （2）I1I2=(6)是Z的一个主理想。 2. 设是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。证明：G1= x|xG且（x）H1是G的子群。3. 设环（R，0，1）是整环。证明：多项式环Rx能与它的一个真子环同构。近世代数试卷4（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1. 设A、B是集合，| A |2，| B |3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2. 设G（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是 。3. 在剩余类环Z18中，812 ，67 。4. 环Z6的全部零因子是 。5. 在多项式环Z17x中，（6x7）17
10、 。6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x21的所有根是 。二、判断题（对打“”，错打“”，每小题2分，共20分）1. （ ）交换群的子群是不变子群。2. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。3. （ ）无零因子环的特征不可能是2004。4. （ ）有单位元且满足消去律的半群是群。5. （ ）模21的剩余类环Z21是域。6. （ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。7. （ ）若R是主理想整环，则一元多项式环Rx是主理想整环。8. （ ）除环只有零理想和单位理想。9. （ ）欧氏环是唯一分解整环。10. （ ）无零因子环的同态象无零因子。三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1. 设H（1），（12）是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1. 设是整数集Z上的模7同余关系，试证明是Z上的等价关系，并求所有等价类。2. 设R、都是环，f是环R到的满同态映射，是的理想，试证明Aa | aR且f（a）是R的理想。3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
