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1、加到收藏夹三、函数的图象 教学目标1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力重点难点以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一
2、个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点教学过程(首先提出问题，同学们展开讨论，进行探讨，总结)可以提出以下问题：1什么是函数的图象？为什么要研究函数的图象？2在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？4请你归纳一下，我们学过哪些图象变换？与它们相对应的函数表达式的变换是什么？5函数的图象与函数的其它知识之间有什么内在联系？与方程的曲线有什么内在联系？6怎样利用函数的图象分析、解决数学问题？(其次，通过学生对例题解法的探讨和分析，掌握知识之间联
3、系，用数学思想分析、解决问题，培养独立思考品质和观察、分析、归纳、综合能力)一、作函数图象的一个基本方法描点法例1 作出下列函数的图象：分析 先对四个函数性质进行研究，即研究定义域、值域、奇偶性、单调性，这样对要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势有大概认识既非奇函数又非偶函数，在0，+)上是增函数由此只要在0，+)上选x的取值列表描点是偶函数，在0，)上是增函数由此只要在0，)上选x的取值、列表描点，再由偶函数的特征(关于y轴对称)得到所要的图象(3)函数y=x-3定义域是(-，0)(0，+)，值域是(-，0)(0，)，是奇函数，在(0，+)上是减函数由此只要在(0，+)上选x的取值、列表描
4、点，再由奇函数的特征(关于原点对称)得到所要的图象图3即为y=x-3的图象数又非偶函数，在(0，+)是减函数评述 例1既复习了幂函数的图象又掌握了列表描点前避免盲目列表计算的方法对已经研究过的基本初等函数，由于已经掌握了其图象的大致轮廓，我们只要找出几个关键的点，就可以迅速得到其图象分析 处理函数问题首先要考虑定义域用函数单调性、奇偶性定义判断函数的单调性、奇偶性是研究函数性质的重要方法根据本题解均值定理更为简捷由第(1)题已经了解到f(x)的变化范围、变化趋势，图象的大致特征，在此基础上可列表描点作图解 (1)f(x)的定义域为：xR任取x1，x2R，且x1x2，当x1x2-1时，x1x21
5、，所以f(x2)-f(x1)0；当-1x1x21时，|x1|1，|x2|1，所以|x1x2|1，即-1x1x21，这样f(x2)-f(x1)0；当1x1x2时，x1x21，所以f(x2)-f(x1)0减函数，在区间(-1，1)上是增函数可知，当x=-1时，f(x)取最小值-1；当x=1时，f(x)取最大值1当x0时，f(x)0，此时图象位于第一象限，且x0，1)是增函数，x1，+)是减函数，当x=1时，f(x)取最大值1当x=0，f(x)=0，图象过原点x轴为图象的渐近线根据以上分析，只要在0，+)选x的取值列表描点即可图5评述 作图象前除分析函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，还可以进一步分
6、析与x轴、y轴交点情况，是否有渐近线等，可以更准确绘出图象例3 作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x1)；(2)y=10|lgx|分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形解(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x1时，lgx0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出(见图7)评述 作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意
7、x，y的变化范围因此必须熟记基本函数的图象例如：一次函数，反比例函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，及三角函数，反三角函数的图象解 由x2-3|x|+20得故已知函数为又等价于又等价于其图象见图8评述 高三复习函数图象时应有机地把函数的图象与方程的曲线联系起来如本例的函数图象是双曲线的一部分弧在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想二、作函数图象的另一个基本方法图象变换法一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换(1)平移变换函数y=f(x+a)(a0)的图
8、象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(b0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位而得到(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A0，A1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)成原来的A倍，横坐标不变而得到函数y=f(x)(0，1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上而得到(3)对称变换函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到
9、函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到例5 在区间(-，0)上为增函数的是 Cy=-(x+1)2Dy=1x2分析 如果用增函数的定义判断，比较麻烦，如果用图象变换的观(-x)的图象可由y=log2x的图象关于y轴对称而得到因此，它在(-，
10、0)上为减函数1个单位，再往下平移一个单位，所以它在(-，1)上是增函数，这样在(-，0)上亦是增函数考察C，图象y=-(x1)2顶点坐标为(-1，0)，它在(-，-1是增函数，在-1，+)是减函数考察D，图象y=1+x2的顶点坐标是(0，1)，它在(-，0是减函数因此选B评述 通过图象变换能寻找所求函数与基本初等函数的关系，从而能求得函数的性质例题运用数形结合的思想，从观察图象判断出每个函数在区间上的单调性等价变换在例题求解过程中发挥了重要作用，例6 把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图形C1向右平移2个单位得到图形C2，如果C2关于原点对称的图形对
11、应的函数是y= 2log2(21)-1那么函数f(x)是_分析 从题意中知y=f(x)的图象是变换的对象，经一系列变换后得到的y=2log2(x1)-1是变换结果这里求f(x)要把结果顺序倒回C2与函数y=2log2(x1)-1的图象关于原点对称，故C2对应的函数是y= -2log2(-x1)-1，即y=-2log2(-x+1)1，C2向左平移2个单位而得C1，故C1对应的函数是：y=-2log2-(x2)11，即y=-2log2(-x-1)象故y=f(x)为y=-2log2(-2x-1)+1，即f(x)=-2log2(-2x-1)1评述 这里首先要区分变换的对象和变换的结果例7 作函数y=|
12、log2|x-2|的图象分析 把函数y=log2x的图象往右移2个单位得到函数y=log2(x-2)的图象；由于x2，函数y=log2(x-2)在直线x=2的右边，它及其关于直线x=2对称的图形就是函数y=log2|x-2|的图象；最后把在x轴下边的图形以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变，就得到了函数y=|log2|x-2|的图象(如图9)评述 用图象变换的方法作函数图象的基础是熟悉基本初等函数的图象，在变换前要明确以哪个基本函数的图象为变换对象，进行什么变换？怎样进行变换？例8 设函数y=f(x)定义在实数集上，函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于 A直线关于y=
13、1对称B直线关于y=0对称C直线关于x=0对称D直线关于x=1对称分析 如果用(x+1)代替f(x-1)=f(1-x)中的x，可得f(0x)=f(0-x)，根据偶函数定义及其图象特征，对称轴的方程是x=0，故选C这样的解答是错误的，错在等式f(x-1)=f(1-x)上，这里“等号”是没有依据的根源在于混淆了一个函数的图象的对称性与两个函数的图象的对称性这两个概念函数y=f(x-1)的图象是由函数y=f(x)的图象右移一个单位得到的函数y=f(1-x)=f-(x-1)是由函数y=f(x)的图象右移一个单位，再作关于直线x=1对称的图形而得到的或由函数y=f(x)的图象关于y轴对称得到函数y=f(
14、-x)的图象，再右移一个单位，即得到y=f-(x-1)的图象，就是y=f(1-x)的图象因此本题正确答案为D评述 由例题分析中看出；给出了变换对象和变换结果而寻找其变换方法和步骤，原则上说方法是不惟一的由例题分析中还应当明确：设函数y=f(x)定义在实数集上，且满足f(x-1)=f(1- x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称这是一个函数的对称性的概念三、函数图象的运用例9 当a0时，函数f(x)=axb和g(x)=bax的图象只可能是图10中的 分析 f(x)是a0的一次函数，g(x)=(ba)x是指数函数先观察y=f(x)的图象，在A中应有a0且0b1；在B中应有a0且b1；在C中应有a0，b1；在D中应有a0，0b1因此对于A，可得0ba1；对于B，可得ba1；对于C；可得0ba1；对于D，可得ba1由以上所得，结合指数函数图象的性质可知，只有A才可能是正确的，因此本题选A评述 例题要求把图象反映出来的函数性质同函数解析式有关数的性质联系起来该题培养了学生观察能力，识
