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1、较好较难的几个立体几何49、矩形ABCD与矩形ABEF勺公共边为AB且平 面ABCD平面ABEF,如图 所示，FD 2 , AD=1,EF=3.(I)证明：AE平面FCB(H)求异面直线BD与AE所成角的余弦值 (皿)若M是棱AB的中点，在线段FD上是 否存在一点N,使得MN/平面FCB证明你的结论.解：(1) 平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与 ABEF是矩形，AD 平面 ABEF, AD AE,BC/ AD BC AE又 FD=2,AD=1 所以 AF=EF=3,所以四边形ABEF为正方形.AE FB,又 BF BC B,BF 平面 BCF BC 平面 BCF所 以 AE平 面B
2、CF 4分(2)设BF AE=0取FD的中点为H,连接0H, 在 fdb 中 OH/BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角（或补角）,在 foh 中,OH=1,FH=1,FO，cos HOF手异面直线BD与AE所成的角的余弦值为_64.8分（3）当N为FD的中点时,MN /平面FCB 证明：取CD的中点G,连结NG MG MN 则 NG/FC,MG/BC,又NG平面NGM MG平面NGM且NG MG=G 所以平面NGM/平面FBC,MN平面NGMMN/FBC12分50、（河北省正定中学2008年高三第五次 月考）如图，在直三棱柱 ABC-ABC中，BAC 900,AC AB AA,E 是
3、BC的中点。求异面直线AE与AQ所成的角；若G为CC上一点，且EGL AC试确定 点G的位置； 在（2）的条件下，求二面角 A-AG-E的大小 （文科求其正切值）。解：（1）取BG的中点Ei，连A1E1, EQ,则AE II AEi, / E1A1C是异面直线 AE与AC所成的 角。设 AC AB AA1 2a，贝卩 A1E1/2a, A1C 2逅a,EiCi Bi Ci 2a. Ei C 寸 EiG Ci C v 6 a.2在 AiEiC 中， cos EiAC2 2 22a 8a 6a 丄2 V2a 2yf2a 2 所以异面直线AE与AiC所成的角为-4分(2).由(i)知，AiEi丄BC
4、,又因为三棱柱ABC-ABC是直三棱柱AiEi 丄 BCCBi,又 EGjL AiCCEi 丄 EG./ E1GG1. =Z GECCG Ci EiCG 2a左即2a右得CG a Ci C：r 2a 2a以CEEiCCi GECCG(3)连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ 丄 AG于 Q,连 EP,EQ,则 EP丄 AC.又 平面 ABCL平面 AC(EP丄平面ACCAi而PQL AGEQ丄AG. / PQE是二面角C-AG-E的平面角.由 EP=a,AP=a,PQ=,得tan pqe 匹 真1%/5PQ所以二面角C-AG-E的平面角是arctan寸5, 而所求二面角A, AG e是二面
5、角C-AG-E的补角， 故二面角aage的平面角是n arcta n :5 12分(文)二面角Ai AG E的平面角的正切值为一12分C45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形 ABCDK AD/ BC / ABC=Z BAD=-, AB=BC=2AD=4E、F 分别是 AB CD上的点，AEFDL平面EBCF (如图). 求证：BDL EG ;C D为顶点的三棱锥的体积 的最大值；EF/ BC AE = x , G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD折，使平面(1) 当 x=2 时，(2) 若以 F、B、记为f(x)，求f(x)平面C(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-
6、C的余弦值.解：(1)(法一)平面 AEFDebcf ,AEL EF, AEL 面平面ebcf ,AE丄EF,AEL BE,又BE! EF,故可如图建立 空间坐标系E-xyz。1分则 A (0, 0, 2), B (2, 0, 0), G (2, 2, 0),D (0, 2, 2), E (0, 0, 0) 2分Cy2 ), EG ( 2 , 2 ,(2 , 2 ,LUUTBD0)分BD EG ( 2 , 2 , 2) g ( 2 , 2 , 0 ) = 0 ,A二 BD EG 4分.D!(法二)作 DHL EF于 H,连 BH, GHE 1分B由平面AEFD平面EBCF知：DHL平面EBCF
7、而EG平面EBCF故EGL DH又四边形BGHE正方形， EG!BHBH DH= H,故 EG!平面 DBH 分而BD平面DBHEG! BD分(或者直接利用三垂线定理得出结果)(2)T AD/面 BFC所以 f(x) V-BFC= 3 Svbfc gAE = 3g2g4g(4-x) gX2(x 2)2 8 8333即 x 2 时 f(x) 有最大值为(3)(法一)设平面 DBF的法向量为X (x,y,z),2, 2), AE=2, B (2, 0, 0), D(0, F ( 0, 3, 0), BP ( 2,3,0), BD9分LT UUU mgBD 则LT UUU即(x,y,z8nigBF2
8、,2,2)0 2x 2y 2z(x,y,z)g； 2,3,0) 0， 2x 3y 0取 x= 3y = 2, z = 1,二 u (3,2,1)面 BCF 的个法向量为urn2(0,0,1)12分ir uucos=|聽147T13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为一.T414分（法二）作 DHL EF于 H 作 HML BF,连 DM由三垂线定理知 BF丄DM / DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。9分由厶 HMFA EBF,知碁罟，而 HF=1? BE=2BF=, BE2+ EF2. 13 ,又 DH= 2,在Rt HMD中tan / DMH號13,二
9、 cos / DMH =而/ DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，故二面角 D-BF-C的余弦值为一爭。14分46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考）如图，在 Rt AOB 中，OAB -，斜边 AB 4 . RtA AOC6可以通过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面 角B AO C是直二面角动点D在斜边AB上。(I )求证：平面COD 平面AOB ；AOB求A所成角的最大值。CD与平面AOB所成的(II )当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；(III )(理)求CD与平面(文)当D为AB的中点时， 角。解：(I )由题意，CO AO , BO AO
10、 , BOC 是二面 角B AO C是直二面角,又Q二面角B AO C是直二面角， CO BO，又Q AOI BO O ,CO 平面 AOB , 又CO 平面COD , 平面COD 平(II )解法一：作DE OB，垂足为E，连结CE (如图)，则 DE / AO ,CDE是异面直线AO与CD所成的角.在 Rt COE 中,CO BO 2,OE 1 BO 1,2 ?CE CO2OE2DE1 -AO ,32在Rt CDE中 ,CEtan CDEDE.153异面直线AO与CD所成角的大小为arctan 卫.3解法二：建立空间直角坐标系xyz，如图,uuuuuu uurCD ( 2,1,3) , c
11、os OA,CDuur-OA (0,0,2.3)，贝V O(0,0,0) ,A(0,0,2 .3) ,C(2,0,0) ,D(0, 3),uuu uuuOAgCDuuO| |uurOA|gCD6 J 异面直线AO与CD所成角的大小为 2,30,24arccos 4(III )(理)由(I )知， CD与平面AOB所成的角，CO 平面AOB , CDO是且tan CD0 OD o2_ 当od最小时，CD0最大，这时,0D AB,垂足为D,0D詈3,tanCD0 曹,CD 与平面AOB所成角的最大值为arctan23312分(文)由(I )知，CO 面AOB所成的角，且 47、安徽省合肥市2008
12、年高三年级第一次质检 如图，在几何体平面AOB , cdo = 45。CDO是CD与平12分P ABCD中，面ABCD为矩形，PA当AD 2时，平面PBDL平 頂时，求二面角B PD C、/aABCD , AB PA 2 (1)求证；(2)当 Q AD 围。以A为坐标原点，射线AR AB AD分y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设AD a，由已知得 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0), C(0,2, a),D(0,0, a)BD AC.uuur BD.uuur BD(0,uuPAuuuuuu2,2), PA ( 2,0,0), CA (0, 2, 2) 4 分uuu
13、r uur0, BD CA 0 ,又 PAI CA A，二平面 PBDL平|解法二当ADPA 面 ABCD ,又 PAI CA A ,PBD平面PBDL平面由 P(2,0,0),uur得PD设urIT ni IT niuuuPDuuirDC(xi, yi,zi)(xi, yi,zi)ni(a,0,2)uu n2 uu n2uu PD uui PBCABDPA, BD2时，矩形ABCD为正方形，BD PABCL平面PAC BD平面PACB(0,2,0), C(0,2, a), D(0,0, a)uuu2,0, a),PB (ir（Xi, %,乙），厲(2,0, a)(0,2,0)2为 azjyi 0uun2(X2,y2,Z2)(X2,y2,Z2)yiuu区必厶）,n(2,0, a) 0(2,2,0) 0uuur2,2,0), DC (0,2,0)2x1面 PDC不妨设Xi面 PDBa，则u (a,a,2) 10 分2x2az20z2a2x22y202y2X22x2不妨设X2 a，则ur uutur 11 n2(a,0,2) (
