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1、e-Pes是系统 Z1e -PEs (1) p第九章系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为s = - k Xp ln p其中p处在s 态的概率。证：S = k(ln Z - P业兰)多粒子配分函数Z = X e-Pe apd In ZX Eke-PEkXT；由(1)知e-% = Zp n PE = In Z + In p ; E=ln Z + In p P代至(2 )得a ln Z v 11=X Iln Z + ln p .p = ln Z +-1 Xp ln p ；ss于是c a ln Z S = k ln Z P ap J习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵Z
2、 =X e-Pe2 m ixi=1iy+ p2iz符号dp=n dp dp dpix iy iz符号dq=n dx dy dz一书 X (p 2 + p 2 + p 2 ) izixdpdqV N+1X (p 2 + p 2 + p 2 ) ix iy iz dp2 mi=18+8 eP ( p2m3N /28利用式(9.5.3)n P =-电* = X竺=些类似求us。P aP Pz av v习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为气和2，温度为T。试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。解：# Kp 2 + p 2 + P 2 X 2 + p 2 + p 2
3、)j e 2 m ix iy iz jx jy jz 11 dp dp dp dx dy dz 11 dp dq)ix iy iz i i ijjV (n1+n 2)n Z n !n !h3(n1 + n2)V (n1 + n 2)/2IP )n P 6 ln Z = 01 + 七”n PV = (n + n ) kTPS Vv12习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。3N /2S ln ZU SP（2m兀）3N/2(3N/2)。(T-3N/2Q3 N/2S QSp=(3/2) N P1 S Q；Q V n +Q SPN2 V n-1 j f12 dr一般认为少2V f12dr里 V
4、n-1 j-Sf dr ;SPe-阶(12 - 1 nSf 12SPVN-J5 - 阶 dr; U 3 NTk /2 +N 2V N-1 j 4e-阶 drV n + 1N 2 V n -1 j f dr较小;N 2 VN-1 j4 e 邛4dr“ 3 kNT /2 - Vf 12 dr习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证明，二维气体的物态方程为pSNTk 11 + B / S ，其中:B - j C -/kT 一 1 兀 rdr ; S 为液体的面积， 24为两分子的互作用势。二维气体-Pn dp dp n dx dyixii)NQ(pp a
5、p习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算长度为乙的线形原子链在高温和低温下的内 能和热容量。解：一维线形原子链ro = ck , k =2兀n / L, n = 0,土 1, + p2 )2， * * dpdq其中-P&(r.)Q = j e 1i jdr 1 drdr定义fn Q = fn (1ijf )dr dr dr =(只保留前部分ij 12 n)J(1 + Z f )dr drijQ = Sn +里 S N-2 j f dr dr 变量代换R = (r 21212+ r )/2; r =ijS N + j f dr dr ;其中 j f dr dr V N - 2 j f dr dr
6、ij 1 n1 nij 1 n121N 2 Sn-1 j f12drIn Q = N In S + InN21 + f12 drN1 j f dr据式 2S12(9.5.3)r b =kNT1 + S L Jf 12 drdn Ldk / 2兀;D ()d Ld /2 c 兀共有N个振动，存在最大频率，D () d = N nj d = N nj d令力/ kT x n力dkTdx力e kT力1e kTj k 2 xT 2 dx力(ex 1)LT +2 k 2 j xdx2丸力c ex 1高温近似X 1; U w U +LT 2 k 2 j dx = U 0 + kNT低温近似U R U +
7、冒 22 j dx = U + 兀 2kNT 2/60 其中 k0 =力习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维品体） 在高温和低温下的内能和热容量。解：二维：面积S内，dk dk波矢范围内辐射场振动自由度为sdk dk s k d kd4兀24兀2横波分布为2 K Skdk, Jd 9 =纵波按频率分布为Skdc22D (d )d d = D (d )d d + D横11一+ 一c21c22Dd_、，J D (d ) d dD 2=2 N n d 2DD2DDD2=U+ B力J4 Nn BBd0o e kt耻(cd)力de kt 1令竺 kT(kT Ax2kTdx(k
8、T A3kTx2dxex 1低温近似U R U + B 力（生Af x2 dx = U + 2.4 0 街力(阻0力；ex 101力Joo03ex 一 1 力I力高温近似（虫A 3 kTI f xdx = U + B 力(尘A31(A力)03 J2l kT J再仗D2B力0U R U +0C计算略。习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数lnZ，从而求内能 和熵。ln Z = In e-阿 0 + Xi德拜频谱 o3Dln解：式（3.9.4）=一 8。+ fD Bo 2: o doB（8 力）3押o D In (一8 u01 B兀43(8 力)315N 兀 4 (1+5 Ip 力
9、 o、Dln Z = ln e-8。() + JoD ln(8 力 o)e 2D (o )d o0=8。+ JoD B ln(e1 - e - I8 o28力o;o 2 do (代换8力o = x)1 -Ie -8 五o;9 NB对于振动S计算略高温近似，T T 3，8力o T 0ln Z = - 8。- Jod B(1 lno 2 d o=-8。- Jo D B (ln 8 力 o )dT3 I00I 8 力 o J003I o J8。 - B云ln（8力o）泌-1 JoD o 2 do0303 0=8。-B In（8力o）+DB 039=-8。0 - 3N In（8力o）+ N（习题9.1
10、0固体的结合能U 0和德拜特征温度9 D都是体积V的函数。利用上题求 得的ln Z求低温条件下固体的物态方程。令V=-辿9D，试证明，在高温及低温 d ln V下，固体的物态方程都可表为：p = -/ +v，二 dV V解：以低温为例ln Z = P U0=P U + A | = P U + A（P9 ）-30 顷 D J 0 D据正则分布热力学公式（9.5.3）, 将u。及e视为体积v的函数。（1）4e 4 当D a va in z a u=0a v a vae3 A P - 40 - 4DD a v据热力学式（9.5.1）得出：四匝=u 3AP-40-aP0 da ln Zc cU =邮=
11、U + 3 A P -40 T（2）联立（1）（2）得出:a u U - u ） aeP a v ea vdu0 u U）aine du0 v u - u0dv0 va in vdv V其中v = Wd ；原式得证。高温情况可作类似处理（略）a in v习题9.11固体中某种准粒子遵从玻色分布，具有以下的色散关系s = A。试 证明在低温范围内，这种准粒子的激发所导致的热容量与r :成比例。（铁磁铁中的自 旋波具有这种性质）证：色散关系s=A； N粒子体系（固体）D（ ）d w = J Jdk dk dk00=J fk2 sin e dkd e d =k2 dk4兀3兀200v w d w v
12、=w 1/2 d w兀 2 A iw 2兀 2 A3/2t A令B =2兀 2 A 3/2eK ()力e ,+ j D (e )d e力e0 e kT 1=U()力e 2 ,+ B j D v )d e力e0 e kT 1ns 2DjeD D 侦)d=B jeD 1/2d=NB力 jDD (e)e kT 1kT(kT A332X 2代换力e = kTx ；当T T 0时；ex 1dxex 1dxn (U - U)S (kT)：；于是习题9.14用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学 势。解：参照9.17关于玻耳兹曼体系配分函数的处理ln S = ln n H=E ln H过渡到连续能量分布得:V +8ln H = j eh3-a-p +p;+p;)dp dp dpe a83e ae -a V+|6 p 2e 2 m dp8利用热力学式可求得V-NkT等 (略)2
