《北京四中---高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京四中---高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算.docx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算一、知识网络二、高考考点1.虚数单位 的定义与 的方幂的周期性应用；2.复数的四则运算，特别是除法法则下“实化分母”的运算；3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件的应用；4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。三、知识要点（一）复数的概念为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于-1，即 ；（2）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。在这样的规定下1定义：（1）形如a+bi(a，bR)的数，叫做复数，通常
2、用字母z表示，即：z=a+bi(a，bR)将复数表示成a+bi(a，bR)形式，叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数a+bi的实部与虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。（2）分类：对于复数z=a+bi(a，bR)，当b=0时，z=a是实数；当b0时，z=a+bi叫做虚数；其中当a =0时且b0时，叫做纯虚数。复数 （3）相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果a, b ,c d R，那么a + bi=c+ di a=c, b=d特例：a + bi =0 a=0,b=0提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比
3、较大小，即如果所给两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。（4）几何意义注意到复数z=a + bi (a，bR)与有序实数对（a, b）之间存在的一一对应关系，将复数z=a + bi (a，bR)用点Z（a, b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。认知：在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z（a, b） 其中点Z是复数z的一个几何意义。实轴上的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数（但要注意：虚数上的长度单位是1，而不是 ）。（二）复数的运算1复数的加法与减法（1）法则：两个复数相加（减）就是把实部与
4、实部，虚部与虚部分别相加（减），即：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.（2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何 2复数的乘法与除法（1）乘法乘法法则规定复数的乘法按照如下法则进行：设 即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把 换成-1，并且把实部或虚部分别合并。运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何 （2）除法除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足 或 操作程序两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1）将两个复数的商写成分式形式；2）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以“实化分母”；3
5、）将上述所得结果化简整理。即 共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z的共轭复数记作 ，即若z=a+bi(a,bR),则 =a-bi.特例：任一实数的共轭复数为自身： 2）性质：其一： 设z=a+bi(a,bR)，则有 （此为除法运算时实数化分母的依据）；其二： （三）数系的扩充1数系的扩充过程 反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表 点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充分展示了数学这一“辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。（四）
6、复数集C中的实系数一元二次方程（1）求根公式对于实系数一元二次方程 ，当判别式 时，方程的求根公式为 ，即 （2）认知当 时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。 对于 时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一元二次方程， 失去判别作用，但韦达定理仍然适用。四、典例剖析例1当实数a分别取何值时，复数 （1） 分别为实数，虚数，纯虚数，零；（2） 在复平面内的对应点位于第四象限。解：利用复数的分类与几何意义复数 （显然 ）（1）由（a+1）(a6)=0 得a=1或a=6（此时实部有意义）， 当a=1或a=6时，z
7、为实数；由(a+1)(a6) 0得a 1且a 6注意到这里a 7 当a 7且a 1且a 6时，z为虚数； 解得a=4， 当a=4时，z 为纯虚数； 解得a=1， 当a=1时，z=0。（2）解不等式组 得 ， 时复数z的对应点在复平面的第四象限。点评：必须特别注意所给复数存在的条件，本题中的a 7。例2已知x是实数，y是纯虚数，且满足 ，求x与y。解：注意到y是纯虚数，故设 ，则代入已知等式得 整理得 根据两复数相等的充要条件得 ，由此解得 所求 点评：这里问题的实质是在复数集中解方程，一般是从设出有关复数的代数形式切入，利用两复数相等的充要条件，将所给问题转化为解实数集上的方程组，进而由此获得
8、原方程的解。提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得 错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。例3已知复数 求k的值。解： ， 由 的表示形式得 k=2即所求k=2点评：(i) 对于两个复数 、 ，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此， 、 能够比较大小 ， 均为实数。（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z， 且R ； 且R 。例4若方程 有实根，求实数m的值，并求出此实根。解：设 为该方程的实根，将其代入方程得 由两复数相等的定义得 ，消去m得 ，故得 当 时得 ，原方程的实根为 ；当 时得 ，原方程的实根为 。点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为
9、：设出实根代入方程利用两复数相等的充要条件求解。例5设复数 ，且 ，求实数a，b 的值。解： ，将 代入 得 ，即 由两复数相等的定义得 解得 .所求实数 。点评：（1）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需要在入手前细细斟酌，果断敲定；（2）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如 等。例6设z为纯虚数，且满足 ，求z解法一：由题意设 ，则 代入已知条件得 又 ，故得 解法二：由z为纯虚数得 ， 又 ，故得 ，即 。例7：已知 ，复数 的虚部减去它的实部的差为 ，求w2的值。解：由 得 .依题意得 .又 ,故得 . ， .例8：已知复数z满足 ，且z的对应点
10、在第二象限，求a的取值范围。解：设 ， 。由 得 对应点在第二象限，故有 又由得 由得 ，即 ， ， 于是由，得 ， 即 再注意到a0. 于是将，联立解得 z=1+2i.解法二（利用已知条件设复数）：注意到 的对应点在第一象限的角平分线上，故设 ， 由 得 ，z=1+2i.解法三（利用已知条件构造关于z的方程）：注意到 ，设 则 z为虚数， 即 ，关于z的一元二次方程有虚根， 利用求根公式解得 ，又z+1的对应点在第一象限的角平分线上， 且 由得 ，解之得 代入得 z=1+2i.点评：三种解法各有所长，各自从不同侧面开阔学生的视野与思维。例10求同时满足下列两个条件的所有复数：（1） ；（2）
11、z的实部与虚部都是整数。解：设 ，则 由题意 ， y=0或 （）当y=0时， ， ，由 得 注意到当x0时， ，此时式无解。（）当 时，由 得 又这里x，y均为整数x=1， 或x=3， ， 或 于是综合（）（）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i.例11（1）计算 （2）已知 ， ，求 的值。（3）已知 ，求 的值；（4）已知 ，求 的值。解：（1）原式= （2）由已知得 ， 原式= 点评：（）认知i的方幂的基本性质，有利于化简或求值： 即i的方幂具有周期性，且最小正周期为4。（）当单值代入目标式比较复杂时，刻意认知目标，先去求某些式子的值，进而整体代入，此为条件求值的基本方略。下一例题我们仍运用这一方略求值。解：（3）由已知得x+1=2i.解法一：两边平方得 即 ， 又u除以 的商式为 ，
