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1、2 椭圆常用结论一、椭圆的第二定义+:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.（点与线成对出现, 左对左,右对右）x2y 2对于+ -a 2b2左准线l : X =1a 2a2;右准线1 : x =- c2 cy 2 x2a2a 2对于二+厂=1，下准线1 : y =-；上准线1 : y =-.a 2 b21c2c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称a2a 2 - c 2 b2焦点到准线的距离p =- c = （焦参数）cc c、焦半径圆锥曲线上任意一点M
2、与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。椭圆的焦半径公式：焦点在X轴（左焦半径）ri = a + eXo ,（右焦半径）r2 = a-eXo，其中e是离心率=a - ey o其中Fi，f2分别是椭圆的下上焦点焦半径公焦点在y轴|MF| =a + ey 0, Mf2式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减,上减下加 PF | a - c, |PF| a -c）推导：以焦点在X轴为例如上图，设椭圆上-点叫y。），在y轴左边.根据椭圆第二定义，PF1PM则 |PF | 二 e|PM| 二 e( 、a 2=e x + 0c c丿、a 2x + 0 c丿=a +
3、ex0同理可得|PF| = a - ex。三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例,弦ABr b 2)Dr b 2)坐标： Ac, ， Bc, a丿k a丿弦 AB 长度：AB = 2b2a22四、若P是椭圆：二+和=1上的点.F1,F2为焦点，若”严2 =0，则ApF 1F2的面积为推导：如图 S1=一 PF - PF - sin 02 1 2PF2 +PF2 FF1 222PF1PF2根据余弦定理，得cos 0PF + PF )2 2 PF PF 4c2112 2|pF1|.|pF24a 2 2PF1PF24c 22PF1PF24b 2 2 PF PF2|pF
4、1|.|pF2 一2b 21 + cos 0sin00=b 2 tan 1+ cos02112b2S = PF -PF -sin0 二一-sin0 = b2apf1f22122 1 + cos 0五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x, y),B(x , y )，则它的弦长1 1 2 2|AB| = yl + k21(x + x )2 -4xxL 1212b2a2证明：设 A(x , y ) ， B(x , y )，1 2 2k=ABy y1 2x - x12x2a2+x2+a2 b 0的离心率也是e = c我们称此方程为共离心率的椭圆
5、系方程. a例1、已知椭圆x2 +兰=1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为 25 16x2y 2例2、如果椭圆七+ = 1弦被点A（4, 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是36 9x2 y 2例3、已知直线y = -x +1与椭圆一 + = 1（a b 0）相交于A、B两点，且线段AB的a 2 b2中点在直线l: x- 2y = 0上，则此椭圆的离心率为例4、F是椭圆宁+琴=1的右焦点，血）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。y（1）|PA|+ |PF|的最小值为（2）|pA| + 2|pF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或 准线作出来考虑问题
6、。解：(1)设另一焦点为F，则F (-1,0)连A F, P F|PA| + |PF| = |PA| + 2a-|PF| = 2a- (|PF|一|PA|) 2a-|AF| = 4 応当P是F A的延长线与椭圆的交点时,|PA| + |PF|取得最小值为仝。(2)作出右准线I,作PH丄l交于H，因a2 = 4 ,b2 = 3 ,c2 = 1,所以a = 2 ,c = 1,1e =.21. PF = -|PHI，即2|PF = |PH.|PA| + 2PF = |PA| + pHa2当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为-x = 4 -1 = 3 c Ax2例5、求椭圆三+ y2 = 1上的点到直线x- y + 6 = 0的距离的最小值.2 2例6、椭圆顶点A（a , 0）, B（0 , b）,若右焦点F到直线AB的且忙b疋)CB.D. 2距离等于* |AF I ,则椭圆的离心率e=（ A. 732 2例7、在椭圆中，巧，F2分别是其左右焦点，若IPFI=2IPF2I ,贝9该且庄bD.椭圆离心率的取值范围是（）A.B. 1, 1）
