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1、第二节空间角的概念及其求法和空间距离的求法、选择题1. （2008 年福建）在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=BC=2, AAi = 1,则 BCi 与平面BBiDiD所成角的正弦值为（）A.gb.誓c.誓d.誓解析：连Ai Ci与BiDi交与 O点，再连 BO,则/ OBCi为BCi与平面 BBiDiD所成角./OCi；BCi= .15sin/OBCi=BC7， OCi = V2，,。吟=那乎答案：D2. （2008年四川延考）一个正方体的展开图如右图所示，B,D为原正方体的顶点， A为原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为 （）A.,5i0B. i
2、05C.D.i0 i0解析：还原正方体如下图所示，设 AD=i,则 AB=V5, AF = i, BE=EF = 2T2, AE =3, CD与AB所成角等于BE与AB所成角,5+8910所以余弦值为 cos/ ABE =正尸=七选 D.2X V5X2V210答案：D3.设E, F是正方体ACi的棱AB和DiCi的中点，在正方体的12条面对角线中，与截 面AiECF成60。角的对角线的数目是()A. 0B. 2C. 4D. 6解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD i为z轴建立空间直角坐标系，并设一 ,i一，一 一.正万体的棱长为i,则Ai(i,0,0), E i, 2, 0 , C(
3、0,i,0).设平面AiECF的法向量为n = (x,V, z),则由彘 n=0 及 EC n = 0,可得 x=z= 2y,于是可取 n = (i,2,i).ABi= DCi = (0,i,i),DBi = DB=(i,i,0),而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30；于是这四个向量与平面AiECF所成的角为60 .而其它的面对角线所在的向量均不满足条件.答案：C4. 如右图所示，在棱长为 i的正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别为棱 AAi、BBi的中点，G为棱AiBi上的一点，且 AiG=X0W入w i),则点G到平面DiEF的距离为(A. ., 3B.C. 3D.1
4、55解析：因为AiBi / EF, G在AiBi上，所以 G到平面 DiEF的距离即是 Ai到面DiEF，-15,的距离，即是 Ai到DiE的距离，DiE =半，由三角形面积可得所求距离为D.答案：D5. （2009年重庆卷）已知二面角a13的大小为50, P为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a和平面3所成的角都是25的直线的条数为（）A. 2B. 3C.4 D. 5答案：B二、填空题6. （2009年四川卷）如右图，已知正三棱柱 ABC AiBiCi 的各条棱长都相等，M是侧棱CCi的中点，则异面直线ABi 和BM所成的角的大小是.解析：作BC的中点N,连接AN,则AN,平面BCCiBi
5、,连接BiN,则BiN是ABi在平面BCCiBi的射影，BiNXBM,ABiBM.即异面直线 ABi和BM所成的角的大小是90：答案：907. （2008年四川延考）已知/ AOB=90, C为空间中一点，且/ AOC=Z BOC = 60, 则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为 .解析：由对称性知点 C在平面AOB内的射影D必在/AOB的平分线上，作 DEXOA于E,连结CE,则由三垂线定理 CEXOE,设 DE= 1? OE= 1 ,OD=V2,又 / COE=60 , CEXOE? OC = 2,所以 CD=aJoC2-OD2=/2,因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sin/COD
6、=*.答案：-28. PA, PB, PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 .答案：U求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.解析：(1)由折起的过程可知，PEL平面ABC,x2_6 2Sa aba 96, Sb bef=108Sa bdc=12x,V(x) = ?x 9 Jx2 (0x0 ,V(x)单调递增；6vxv 3/6时 V (x) 341.因此只有AC = AB=g时， ABC为等腰三角形.在 RtAEC 中，CE=aC2 AE2= 1,
7、又 BC=1 ,所以 CEB为等边三角形，/ CBE = 60 :由(1)可知，BDXBC, BDXBE,所以/ CBE为二面角ABD C的平面角，即二面角ABD C的大小为60.法二：以D为坐标原点，射线 DA, DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，建立如右图的空间直角坐标系 Dxyz,则A(1,0,0), B(0,1,0), D(0,0,0).由(1)可设点C的坐标为(x,1, z),其中z0,则有x2+ z2= 1.因为 ABC为等腰三角形，所以 AC=1或AC=42.若 AC=1,则有（x1）2+1 + z2=1.由此得x= 1, z= 0,不合题意.若 AC=小,则有（x1）2 + 1 + z2=2.联立和得x= 2, Z=-2.故点c的坐标为2, i,坐.由于DABD, BCLBD,所以DA与BC夹角的大小等于二面角 ABDC的大小.一一一1、/3又DA=(1,0,0), BC= 2, 0, ，cos DA , BCDA BC|DA|BC|所以DA, BC =60；即二面角 ABD C的大小为60：
