《高中数学探究性试题汇编》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学探究性试题汇编（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学探究性试题汇编课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学
2、生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。 （）函数是否属于集合？说明理由； （）设函数，求的取值范围； （）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。解：（）若，在定义域内存在，则， 方程无解，。 （）， 时，；时，由，得。 。 （），又函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则，其中。，即。2已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：（1）求的值，并证明对任意的，都有；（2）设当时，都有，证明在上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。解：（1） （2）当时，都有6分
3、当，即时，有， 即 在上是减函数。（3）在上是减函数，是递增数列数列是递减数列。集合中的最大元素为，最小元素为 。3已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列； （3）求的最大值。 解：（1）等差数列中，公差，。 （2），令，即得， 数列为等差数列，存在一个非零常数，使也为等差数列。 （3）， ，即， 时，有最大值。4已知数列中，且点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若函数求函数的最小值； （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解
4、析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。5设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和 的积函数。 （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域； （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。 （2），函数的定义域为，令，则， ，时，又时，递减，单调递增， ，即函数的值域为。 （3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则， ，则，要满足值域为，则要满足， 由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值， ， 又在上是增函数，在上是减函数， 综上，得 。6、已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只有
5、一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1）的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。 综上，得， （2）要使，可构造数列，对任意的正整数都有， 当时，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由题设，时，时，数列递增，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有
6、个。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。解法二：由题设， 时，令； 又，时也有。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。7已知复数， （1）当时，求的取值范围； （2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 解：（1）， 。 （2）（理），为纯虚数，8已知为正常数。 （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在 上的函数，使当时，当时，取得最大
7、值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、，则（当且仅当时取等号）。 （2）在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即时，又，。 综上，得 。 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 如对，此时， 即 。9已知函数，（）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是 的最小值；（）对满足（）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（）当时，若，则在上单调递减，不符题
8、意。故，要使在上单调递增，必须满足 ， 。（）若，则无最大值，故，为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，依题意，有，则，且，得，此时或。满足条件的实数对是。（）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，此时，故。10. 已知在数列中，(、,0)。 （1）若=2，=-1，求、，并猜测； （2）若是等比数列，且是等比数列，求、满足的条件； （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第次 运动的位移是，质点到达点。设点的横坐标为，若=0，若， 求。解：（1）， (2) 猜测: . (4) （2）
9、（理）由， 得， 当时，显然是等比数列， 当时，因为，只有时，才是等比数列 ，即，或 由， 得(n2), 当时，(n2)，显然是等差数列， 当时，只有时，才是等差数列， ，即，或 综上，、满足的条件是 （3）， (12) , . ，11已知函数， （1）若函数，求函数、的解析式； （2）若函数，函数的定义域是1,2， 求的值； （3）设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线 对称。当时，求正数的最小值及函数在-2,2上 的解析式。解：（1） ， (1) ； ； . （2） ，, , ， . 由题设，得. （3）是定义在R上的奇函数， 函数的图象关于直线对称， 在式中以替换，得 由式
10、和式，得 在式中以替换，得 由式和式，得 (14) 是定义在R上的周期为4的奇函数，正数的最小值是1. 当0,1时，当-1,0时，0,1， ，即. 函数的图象关于直线对称， 当(1,2时，2-0,1)， 当-2,-1)当，(1,2，即.A1OB3B2B1A3xyA2 . 12. 已知等差数列的首项为，公差为.对于不同 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.（1） 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；（2） 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；（3） （理）设的公差为已知常
11、数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2020？并请说明理由.（文）设的公差，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2020？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.解（1）， 2分，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 4分（写成，得公比也可）（2），对每个正整数n， 6分若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+24，这是不可能的 9分所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 10分（3）（理）由（1）知， 11分所以 14分若 16分两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S202018分说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。（文）， 11分所以 14分如果存在p使得，即 16分两边取对数得：，因此符合条件的p值存在，可取p= -11等 18分说明：通过具体的p值，验证也可。13函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什
