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1、华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用院系：传媒工程系专业：电子信息工程班级：B1001班号：指导教师：黄2014 年 3 月 29 日静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field摘要高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是 麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场 中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注 意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯 定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理
2、在解决静电场问题的方便之处。关键词 ：高斯定理 静电场 应用AbstractGauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the app
3、lication of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss the
4、orem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field.Keywords : Gauss theorem Electrostatic field Application目录摘 要 3Abstract 4绪论 11 静电场中高斯定理的表述及验证 21.1 高斯定理的定义： 21.2 高斯定理的验证： 21.2.1
5、 单个点电荷被包围在同心球面内 21.2.2 单个点电荷被包围在任意闭合曲面内 21.2.3 单个点电荷在任意闭合面外 31.2.4 闭合面内外均有点电荷的情况 31.3 从库伦定律推导高斯定理 42 高斯定理常见三种对称性分析 72.1 球对称性 72.2 轴对称性 82.3 面对称性 93 介质中的高斯定理的研究 123.1 电介质中的高斯定理： 12结束语 135 收获与体会 14致 谢 156 主要参考文献 16绪论电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一 个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。而静电场中的高斯定理就是电磁学 的一部分，同时静电场中的高
6、斯定理是电磁学中的重要定理之一。它反映了静电场 的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。目前，静电场中的高斯定理 主要用于简化计算具有对称性的电场，可用来计算带电体周围电场的电场强度，还 可以用于空间对称的引力场中，在这些方面，高斯定理更为简单明了。静电场中的 高斯定理可表述为:在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1;倍，与闭合曲面外的电荷无关。在现在的静电场高斯定理中，我们需要注意两个方面的问题:(1) 电荷分布对称情况下高斯定理的应用；(2) 电荷分布不对称情况下高斯定理的应用： 对这两种情况下的研究我们可以得出对称性不是利用高斯定理求
7、场强的唯一条 件，并非电荷或电场分布具有对称性时就一定能用高斯定理求场强，而不具有对称 性时就一定不能用高斯定理求场强。这篇论文主要通过对高斯定理的表述及验证，常见的三种对称性的分析和介质中 高斯定理的研究来论证高斯定理在静电场中的应用，在确定了设计题目之后，我首 先就在教材中查看所涉及的相关知识，再到图书馆查询资料，借阅参考文献，还通 过互联网搜集到一些可以使用的资源，拓宽了思路，然后经过和指导老师的互动交 流，确立了设计方案。在设计过程中，要确保整体方案能够协调工作，从而达到设 计要求。1静电场中高斯定理的表述及验证1.1高斯定理的定义：高斯定理的表述是：通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面
8、所包围的所有电荷 电量的代数和除以e，与闭合曲面外的电荷无关。1.2高斯定理的验证：1.2.1单个点电荷被包围在同心球面内点电荷+q在周围空间激发电场呈球对称辐射状分布，故以q为球心，任意长度rE= q 为半径做一球面，则高斯球面上各电场强度大小相等，均为 4e r2场强的方向沿矢径方向向外。在高斯面上任取一面元dS，则通过dS的电通量为d= EdS =EcosOdS因为外法线矢量n的方向也沿矢径向外，所以n与E之间的夹角0 = ，故通过dS的电通量为d 于是，通过整个球面的电通量为=J d =J E dS = J EdS cos O0 = ee= EdS cosO0qdSr 20q J dS
9、 = 1q 4 兀 r 20 = J E dS =因此，得 e s01.2.2单个点电荷被包围在任意闭合曲面内点电荷q被包围在任意闭合曲面s内。根据电通量的直观物理意义，通过闭合 面s，的电场线数目就是通过该闭合面的电通量，由球心q发出的电场线通过球面s, 也将全部通过面s。这表明通过任意闭合面s的电通量于通过以q为球心的球面s的电通量相同，即=J E dS = J E dSes1.2.3 单个点电荷在任意闭合面外dS dS 以点电荷 q 为顶点做一锥面，锥面在闭合曲面上截取两个面元 1， 2。由 dS dS dS 于闭合曲面内无电荷，从电荷q发出的电场线通过 i也必将全部通过 2，对 1 d
10、S电场线是由闭合面外向内穿入提供负电通量，而对 2电场线是由闭合面内外穿出 提供正电通量，两者d 1和d 2的数值相等，正负相反，它们的代数和为零。通 过整个闭合曲面S的电通量e是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于 零。可见，这种情况下的高斯定理也成立，并说明通过闭合曲面的电通量于闭合面 外电荷无关。1.2.4 闭合面内外均有点电荷的情况设空间同时存在k个点电荷，其中ql，q2，qn在高斯面S之内，qn +1,理，qn +2,，qk在高斯面S之外。设S面上任意一点的总场强为E,则由场强叠加原 有式中：E1，E2,，EK是各点电荷单独存在时的场强，则穿过S面的电通量为J E dS dS
11、+ dS +. + J E dS +. + dS=se12nn+1献，由证明可知闭合面外电荷对闭合面电通量无贡献，只有闭合面内点电荷才有贡 于是上式可写为：E dS +. + J E ds 二（q + q +.+q）二 工 q（s内）1n12ni00至此，高斯定理全部证明完毕。为了正确理解高斯定理，特提出以下注意点。（1）穿过闭合面（高斯面）的电通量ee只与闭合面内的电荷有关，与闭合面外的 电荷无关，与闭合面内的电荷怎样分布也无关。（2）闭合面上任一点的场强E是闭合面内、外所有电荷共同激发的，即闭合面上的 场所是指总场强，不能错误地理解为闭合面上的场强E只是由面内电荷激发的，面 外电荷无贡献，
12、高斯定理说明的是，穿过闭合面的总的电通量（而不是场强）只与 面内电荷有关，面外电荷对总电通量没贡献，但对闭合面上各点场强是有贡献的。 因此，当高斯面内电荷的代数和为零的，并不意味着高斯面上的场强处处为零。工.工.（3）因闭合面内的电荷有正有负，所以（s内）qi是指电荷的代数和。当（s内）=0时，只 能说明穿过高斯面的电通量为零，不能说明高斯面内没有电荷分布（可能有等量的 正、负电荷）。当（s内）qi 0时，也应理解为可能只有负电荷，也可能有正、负电荷分 布，但负电荷多于正电荷。（4）闭合面内的电荷内）为正时，通过高斯面的电通量e大于零，这说明有电场 线从闭合面内正电荷发出；若高斯面包围的电荷（
13、$内）为负时，则通过高斯面的电通 量纟小于零，表明有电场线穿过闭合面，终止于负电荷。这就表明，电场线是从正 电荷发出，到负电荷终止，是不闭合的曲线。从这个意义上说，静电场是“有源场” 因此，高斯定理是反映静电场特性的一个重要定理。此外，高斯定理不仅对静电场 适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本防城之一。1.3从库伦定律推导高斯定理从库伦定律出发，可以推导出高斯定理。先介绍立体角的概念。如图所示，立体角是由过一点的涉嫌，绕过该点的某一轴线旋转一周所扫出的锥面所限定的空 间。如果以点O 为球心、R为半径做球面，若立体角的锥面在球面上截下的面积为S, 则次立体角的大小为0二九。立体角的单位
14、是球面度（sr ）。整个球面对球心的立体角是4兀。对于任一个有向曲面S,面上的面积元dS对某点O的立体角是dScosOdS (r - r)d0 =R2|r-r|式中，r是面积元所处的位置，r是点o的位置，R是从点r到点r的失径，0是有 向面元dS与R的夹角。立体角可以为正，也可以为负，是夹角0为锐角或钝角而定。 整个曲面S对点o所张的立体角是Q = f（厂厂） dSs |r-r|3若S是封闭曲面，则f （r - r） dS0 = 3= 4兀s |r-r|30即任意封闭曲面对其内部任一点所张的立体角为4兀，对外部点所张的立体角为零。高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面电荷间的关系。先
15、考虑点 电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量：JedS = Jf r-r dS = Jfd0s4K8 J r 一 r|34K8 s00若q位于S内部，上式中的立体角为4n ;若口位于S外部，上式中的立体角为零。 对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为E dS = Q上式中，Q是闭合面内的总电荷。高斯定理是静电场的一个基本定理。它说明，在真 空中穿出任意闭合面的电场强度通量，等于该闭合面内部的总电荷量与 0之比。应 该注意曲面上的电场强度是由空间的所有电荷产生的。不要错误的认为其与曲面 S 外部的电荷无关。但是外部电荷在闭合面上产生的电场强度的通量为零。以上的高斯定理也称为高斯定理的积分形式，它说明通过闭
