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1、空间线面关系1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证;2、认识和理解空间中线面平行的判定；3、掌握直线与平面平行判定定理；4、掌握转化思想“线线平行=线面平行”；5、掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.几何原本：几何原本的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前 就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此。欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中 作了全面的系统阐述。这包括首次对公理和公设作了适当的选择(这是非常困难的工作，需要超乎寻常的 判断力和洞察力)。然后，他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前
2、的定理在逻辑上前后一致。 在需要的地方，他对缺少的步骤和木足的证明也作了补充。值得一提的是，几何原本虽然基本上是平 面和立体几何的发展，也包括大量代数和数论的内容。几何原本作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出 工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们 的记忆中消失了。几何原本是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，即谷登堡发 明活字印刷术30多年之后。自那时以来，几何原本已经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，几何原本比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大
3、得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为 如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。1. 直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 注:直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外.(1)直线在平面内有无数个公共点;(2)直线与平面相交有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行没有公共点. 直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这a 仁 a , b u a 个平面平行.即* n a aa / b J 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
4、条直1 /p线和交线平行即1 uaa Cl P = m72. 两个平面的位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)(1) 两个平面相交有一条公共直线.(2) 两平面平行没有公共点(I)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.n P /aa ua, b uP, ap|b = P即a / a , b / a推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.即naPa ua , b ua ,ap|b = A,m u P,n u P, mn - Ba / m , b / n垂直于同一条直线的两个平面互相
5、平行；平行于同一平面的两个平面平行 即al l, pi l na/p ； aY,p / yna/p(II)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行a / Pa。丫 =a,PCly = bn a / b平行线为工亍溪页zz行L注:平行问题常用平行转化的思想：H题型一利用平行四边形证明线面平行例正方体AC 1中，E、G分别为BC、C D的中点，求证：6平面B1 BDD变式训练1、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，NABD = 90。，EB1平面ABCD , EF/AB , AB = 2 , EB =3EF =1，BC = *13，且M 是BD
6、的中点.求证：EM/平面ADF ；3.如图，PAL平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点， 求证：AF平面PCE.题型二利用中位线证明线面平行1 如图所示，已知P.Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心.求证：PQ平面BCC1B1.变式训练如图，在正方体ABCD-ABC中，E是AA/勺中点， 求证：AC /平面BDE。题型三 利用对应线段成比例证明线面平行1.如图所示，正方体ABCD - ABCD中，侧面对角线AB，BC上分别有两点E，F，且BE = CF。11111111求证：EF平面人8。变式训练1.(深一模)如图 5 ,在平面
7、四边形加8 中,4 = 135口 ,Z.C = 60 ? AB = AD tM.N分别是边AD.CD上的点，且1AM = MD , 2CZV = 7VD.如图5，将眼砧沿对角线风)折起,使得平面ABD1平面BCD ,并连结AC,MN.(如图6 )(1 )证明：MN/平面ABC ；(2 )证明：ADLBC ；(3 )若配=1 ,求三棱锥A-BCD的体积.2、在如图所示的几何体中，四边形*BCQ为正方形，EA1平面ABCD , EF/AB , AB = 4,AE = 2,EF =1 ._一 1 一若点M在线段AC上，且满足CM =-CA，求证：EM/平面FBC43.在正方体A心T阡1D中，点N在B
8、D上，点M在BC上，且CM = DN ,求证：MN/平面华叫.B题型四 利用面面平行证明线面平行1.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，ZDAB DBF = 60。，且FA = FC .求证：FC 平面EAD ；2如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF,求证：AE平面DCF.题型五 面面平行的证明例1、夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是.例2、给出下述四个命题： 若直线l与平面a、平面p成相等的角，则a / P ； 若平面a /平面P，直线l与a平面相交，则直线l与P也相交； 两条直线被三个平行平面所截，则所截得的对应线段成比例； 若直线
9、a /直线b，a u平面a，b u平面p，则a / p .其中正确命题的序号是_例3、如图所示，PA 1平面ABC，点C在以AB为直径的O 上, CBA = 30， K PAB = 2，点E为线段PB的中点，点M在AB弧上，且OM / AC . e求证：平面MOE 平面PAC；变式训练1.已知直三棱柱ABC AiBiCi的所有棱长都相等，且DE,F分别为BC，叫AA的中点.求证：平面 叩C TW ead ；几何体中，平面往往以三角形或者平行四边形的形式出现，若要证明面面平行，只需找到两条边分别平行即 可。2.如图所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B B、D
10、D、DA的iiiii1中点.求证：平面ADE平面BGF；i题型六线线、线面、面面位置关系的综合应用1. 给出下列关于互不相同的直线:m，n，l和平面a，P的四个命题： 若m ua，lp|a = A，点A史m，则l与m不共面； 若l、m是异面直线，Illa，m/a，且n l，n m，则n a ； 若l/a，m/P，a/。，则l/m ； 若l u a， m u a， |m = A， l/P， m/P，则a/p。其中为假命题的是（C ）A.B.C. D.【解析】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，但命题中没有说明直线l与m 是共面的。【反思小结】面面平行的性质定理包括两个平面平
11、行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面； 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面，它也垂直于另一平面，此题常犯的错误是从面面平行跳过线面平行而直接就推出线线平行，所以需 特别注意由面面平行推线线平行时一般需构造第三平面，变式训练设：m，n是两条不同的直线，a，p，y是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m a， n/a，则m n ； 若a/p，P/y，m a，则m y ； 若 m/a, n/a，则 m/n ； 若以上丫，p ly，则以/p其中正确命题的序号是（）A.和 B.和 C.和 D.和【解析】在命题中，m, n是两条相交直
12、线或异面直线都有可能，排除B, C在命题中，a, P有可 能是两个相交平面，排除D1 .已知直线11、1 ,平面a, l l , l a,那么1与平面a的关系是（2 1212A. l a B. l u a2.以下说法（其中a， 表示直线，C. l a或 l u a a表示平面）D. 12与a相交若 ab，bua，贝U aa若 ab，ba，则 aa其中正确说法的个数是（AA. 0 个 B. 1 个 C.若 aa，ba，则 ab若 aa，bua，则 ab ).2个 D. 3个正苞!图 伽祝圈 舶整用3.已知a， b是两条相交直线，aa，则b与a的位置关系是（A. baB. b与a相交C. b u
13、a D. ba或b与a相交4. 如果平面a外有两点A、6,它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（ C ）.A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. ABua5. 如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（ A ）.A.只有一个 B.恰有两个C.或没有，或只有一个 D.有无数个6. 已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是DC、DC、AB 11117. 过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是;若AC与BD成90角，AC=6
14、, BD=8，则截面四边形的面积是BD、AC； 12.8. 平面a与ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD : DB=AE : EC，求证：BC平面a.9. P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交 点.（1）求证：EO H平面PCD ；（2）图中EO还与哪个平面平行？10.三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一 结论叫做三角形的重心定理.在四面体ABCD中，M、N分别是面&、BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？ 试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于尸，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点 为CD的中点E，由EM = EN = 得MN/AB，MA NB 2因此，MN平面ABC且MN平面ABD.1.线面平行的判定定理中，三个条件缺一不可对于直线a,b和平面a，若a la ,a 1 b，是否真的有b/a 呢？不要忘记前提条件是b二a，无论何时要判断直线和平面平行，应先判断直线是否在该平面外.2. 面面平行的判定定理中，不要随便创造结论面面平行的判定定理只有一个，条件是”一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面”，三条件缺一 不可，不用
