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1、1矢量分析1. 在球面坐标系中，当 与 无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）2. 我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。3. 矢量场二在闭合面-的通量定义为，它是一个标量；矢量场的divA = jm = V1 4（）也是一个标量，定义为4.Adl矢量场 二在闭合路径的环流定义为；，它是一个标量；矢量场的旋(JurlA = rclA = A =度是一个（），它定义为IjIlEL0,口 3氏-亠3胃亠3璟 亠血graau= vn= %- + es 5.标量场u（r）中，（）的定义为%穌卽眈其中n为 二 变
2、化最快的方向上的单位矢量。6.矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（） v，（yx=任一矢量的旋度的散度恒为（）皿菇叩価-我。7.日 疋在直角坐标内,是个（），而二是个（），上是个（）8.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度 开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。10. 标量：（）。如电压U电荷量Q电流I、面积S等。11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表 示。13.
3、 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。14. 旋度为零的矢量场叫做（）15. 标量函数的梯度是（），如静电场16 无旋场的（）不能处处为零17. 散度为零的矢量场叫做（）18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场19无散场的（）不能处处为零20. 一般场：既有（），又有（）21 任一标量的梯度的旋度恒为（）22. 任一矢量的旋度的散度恒为（）。-_k.23. 给定三个矢量 A百和3：比=瓦+亏2_3百二一亏4 + N求:卫；（2）-(3)-;八丄;(5)二在二上的分量：(6);(7)匚 ;(8) 和 l ih
4、：-二24. 三角形的三个顶点为-(0, 1, 2)、： (4 , 1, 3)和I (6 , 2, 5)。(1) 判断二匸：是否为一直角三角形。(2) 求三角形的面积。25. 求( 3，1, 4)点到P(2， 2, 3)点的距离矢量_ - J及的方向。26. 给定两矢量和宀，求-在_: r 亠上的分量。27. 如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量 设一为一矢量，而二,和厂已知，试求三。(2ti& 328. 在圆柱坐标中，一点的位置由- 定出， 求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。29. 用球坐标表示的场，求二与矢量-J八十* 构成的夹角30. 球坐标中两个
5、点和(二匚-)定出两个位置矢量和J。证明二和间夹角的余弦为cos 丫 = sin G sin cosftft - cp2) -n cos 6】cos2提示:e y =玉邑一 一兔 ：坨，在直角坐标中计算 爲昆i31. 一球面S的半径为5,球心在原点上，计算：的值32. 在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量 r验证散度定理。33. 求矢量一的散度； 求匚1对中心在原点的一个单位立方体的积分;(3) 求亠对此立方体表面的积分，验证散度定理34. 计算矢量才对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求F对球 体积的部分。35. 求矢量4-J 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线
6、积分，此正方形的两边分别与 x轴和y轴相重合。再求-对此回路所包围 的表面积分，验证斯托克斯定理。36 .求矢量厂 沿圆周_ 的线积分，再计算亠.十川 对此圆面积的积分37.证明：（1） -5K2/zsm l时，其空间电位,、ql(r, , )= 2 cos的表达式为4 0r求其电场强度E(r, 9 , )62. 已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：(1) 该矢量场的旋度；(2) 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分,如图所示，验证斯托克斯定理63. 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未 知矢量。设A为一已知矢量P A X P A X p和P已知，试求X6
7、4 点电荷q在离其r处产生的电通量密度为D步，直2 X2）12求任意点处电通量密度的散度 D,并求穿出r为半径的球面的电通量I证明（1(f (d) d f ()df|A(f(a)dAl f(r)AA(f(a)2 f(r)df66.证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面67.求证:(1) |(2)68.(A)70.证明:(69.证明：（？） AdSSA为一常矢量A =er Ein cos uo占0爲 win.0B =耳护 sin + cos-sx2rz sin. 071. 现有三个矢量场A, B, C问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示;(2)哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示;
8、(3) 求出这些矢量的源分布。72. 求矢量上” 一】的散度；(2) 求*对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3) 求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。73. 求矢量沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积 分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求-对此回路所包围的 表面积分，验证斯托克斯定理。f74. 给定矢量函数,试计算 沿抛物线x二2y2;(2)沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E是保守场吗？75. 已知A、B和C为任意矢量，若A B AC，则是否意味着B总等于C呢？ 试讨论之；试证明：ABC BCA CAB。76. 给定三个矢
9、量A、B和C如下：A ax 2ay 3az B 4aaz C 5ax 2az求(1)矢量A的单位矢量aA ;(2) 矢量A和B的夹角AB ；(3) A B 和 A B(4) ABC 和 ABC；(5) A B C 和 A B C。77. 有一个二维矢量场F r ax y ay x，求其矢量线方程，并定性画出该 矢量场图形。78. 直角坐标系中的点Pl3,1,4和p22,23，直角坐标系中写出点Pl、p2的位置矢量*和2 ；求点P1到P2的距离矢量的大小和方向，求矢量ri在2的投影。79. 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变 换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量
10、。2 2 280. 求数量场ln x y z通过点pi,2,3的等值面方程。25E a一281. 用球坐标表示的场r ，求(1)在直角坐标系中的点3,4, 5处的E和Ez ；(2) E与矢量B 2ax 2ay az之间的夹角。: r dS82. 试计算S的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为 立方体表面上任一点的位置矢量。83. 求标量场 x, y,z 6x2y3 ez在点P 2,卩的梯度。2 284. 在圆柱体x y 9和平面x 0、y 0、z 0及z 2所包围的区域，设此区域的表面为S，求(1)矢量场A沿闭合曲面S的通量，矢量场A的表达式为2A ax3x ay 3y z az 3z x(2)验证散度定理。A dl85. 计算C从P0,0,0到Q1,1,0，其中矢量场A的表达式为2A ax4x ay14y曲线C沿下列路径:(1).2x
