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1、第二十讲 飞跃-从全等到相似 全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等 通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形例题求解 【例1】如图，ABC中，ABC=60，点P是ABC内
2、一点，使得APB=BPC=CPA，且PA=8，PC=6，则PB= (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 PA、PB、PC分别是ABP、BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上 类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式”在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比这里蕴含的思想方法就是类比 【例2】 a、b、c分别是ABC的三边的长，且，则它的内角A、B的关系是( ) AB2A BB=2A CBA
3、E) (1)AEF与EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由； (2)设，是否存在这样的值，使AEF与BFC相似?若存在，证明你的结论并求出的值：若不存在，说明理由(重庆市中考题) 思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则RtAEF与RtBFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出的值 【例5】 如图，ABC和AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D求证：AA1CC1(重庆市竞赛题) 思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AAl交CCl于E，寻找相似三角形，证明A=90注 比例线段(或等积式的)证明是几
4、何问题中的常见题型基本证法有： (1)从相似三角形入手； (2)利用平行截割定理 有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论学力训练 1如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC，在网格上，画出一个与ABC相似且面积最大的A1BlC1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则A1BlC1的面积是 (泰州市中考题)2如图，在ABC中，AB=15cm，AC
5、=12cm，AD是BAC的外角平分线，DEAB交AC的延长线于点C，那么CE= cm (重庆市中考题)3如图，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1，线段MN的两端点在CB、CD上滑动，当CM= 时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似 (桂林市中考题)4如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，有下列结论：BAE=30；CE2=ABCF；CF=CD；ABEAEF其中正确结论的序号是 (黄冈市中考题)5如图，在ABC中，BAC=90，D是BC中点，AEAD交CB延长线于点E，则结论正确的是( ) AAEDtACD BAEBACD CBAEACE DAECDA
6、C(江苏省竞赛题)6如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，对角线ACBD于P，若，则的值是（ ）A B C D (2000年绍兴市中考题)7如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是( )AAEAF BEF：AF= CAF2=FHFE D (黑龙江省中考题)8如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，BP=1，CD，则ABC的边长为( )A3 B4 C5 D 6 (黑龙江省中考题)9已知：正方形的边长为1 (1)如图，可以算出一个正方形的对角线长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n个
7、正方形并排拼成的矩形的对角线长 (2)根据图，求证：BCKBED (3)由图，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明： BEC+BDE=45；BEC+BED=45；BEC+DFE=4510如图，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3的速度向A点运动，设运动的时间为x (1)当x为何值时，PQBC?（2）当时，求的值；(3)APQ能否与CQB相似?若能，求出AP的长；若不能，请说明理由 (金华市中考题)11如图，设P是等边ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M
8、、N两点，求证：BPPC=BMCN (安徽省竞赛题)12已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 ( “弘晟杯”上海市竞赛题)13如图，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点，连结CC交DB、DF于G、H，则EG：GH：= (重庆市竞赛题)14如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABCD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则 (“祖冲之杯”邀请赛试题)15已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为
9、( )A B C D (江苏省竞赛题) 16如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则ADDC等于( )A6 B7 C 12 D16 (TI杯全国初中数学竞赛试题)17如图，在ABC中，D是边AC上一点，下面4种情况中，ABDACB不一定成立的情况是( )AADBC=ABBD BAB2=ADAC CABD=ACB DABBC=ACBD(全国初中数学联赛题)18如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作BMN=MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC19如图，梯形ABCD中，ABCD，ABCD，K、M分别是AD、BC上的点，已知DAM=CBK，求证：DMA=CKB (“祖冲之杯”邀请赛试题)20如图，ABC中，ACB=2ABC，求证：AB2=AC2+ACBC21如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P (1)当点P是边AB的中点时，求证：； (2)当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立?请证明你的结论 (2001年北京市宣武区中考题) 22如图，若，求证：(武汉市选拔赛试题)第1页（共9页）
