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1、2013学年第二学期高三数学练习卷四 2014.2一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1不等式的解是 2计算 3在等差数列中，则 开始输入a，b，c是否结束bc输出a是否abbcab4已知复数（为虚数单位），则 5已知两条直线：，：若的一个法向量恰为的一个方向向量，则 6函数的最小值为 7设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，且，则的值为 8如右图，若输入的，则执行该程序框图所得的结果是 x12345a0.40.20.10.29（理）已知随机变量的分布列如下表，则随机变量的均值是 （
2、文）已知大小、形状、颜色完全相同的（）个乒乓球中有个是次品，从中随机抽取个加以检验，若至少抽到个次品的概率是，则至多抽到个次品的概率是(用含的式子表示) 10（理）极坐标系中，点到曲线上的点的最短距离是 （文）已知实数满足，则的最小值是 11（理）设为双曲线虚轴的一个端点，为双曲线上的一个动点，则的最小值为 （文）设为双曲线虚轴的一个端点，为双曲线上的一个动点，则的最小值为 12（理）已知曲线：与函数及函数的图像分别交于点，则的值为 （文）已知曲线：与直线相交于点，则的值为 13（理）问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，且函数在上单调递减，原方程有唯一解.仿照此解法可得到
3、不等式：的解是 （文）问题“求不等式的解”有如下的思路：不等式可变为，考察函数可知，函数在上单调递减，且，原不等式的解是. 仿照此解法可得到不等式：的解是 14若，,则= 二、选择题（每个5分，共20分）15、在ABC中，“”是“ABC是等腰三角形”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件16、（理）数列的通项公式为 ，则（ ）（A）1 （B） （C ）1或 (D)不存在（文）将图所示的一个直角三角形ABC（C90）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）（A） （B） （C ） (D) ACBHP17（理）如图，
4、三棱锥的四个顶点在同一个球面上，顶点在平面内的射影是，若球心在直线上，则点一定是的 （ ） (A) 重心 (B) 垂心 (C) 内心 (D) 外心EFGH（文）如图几何体由前向后方向的正投影面是平面EFGH，则该几何体的主视图是 （ ）（C）（B）（A）（D）18方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：在上单调递减；函数不存在零点；函数的值域是；若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定其中所有正确的命题序号是 答（ ）(A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2小
5、题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 （理）在棱长为的正方体中，分别为的中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小（第19题图） （文）如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到米2)20（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点（1）若是的中点，求；（2）设，求周长的最大值及此时的值21（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 （理）已
6、知函数（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由 （文）已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点. （1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（
7、3）求证直线的斜率为定值.23（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（理）已知数列的前项和为，且满足 ()，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由（文）已知数列的前项和为，且，从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值答案：一、（第1题至第14题） 1； 2； 323
8、； 4；5； 6； 7文16，理4； 8（或）；9文，理；10文，理；11文，理；129；13文，理或； 1415-18 A B D D19（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以（5分）(2)如图，取底面边长的中点，连接，（12分）（理）19（1）（理）解法一：建立坐标系如图 （1分）平面的一个法向量为 （2分）因为，可知直线的一个方向向量为（3分）设直线与平面成角为，与所成角为，则（5分）19（1）解法二：平面，即为在平面内的射影，故为直线与平面所成角，（2分）在中， （4分） （5分）19（2）（理科）解
9、法一：建立坐标系如图平面的一个法向量为（7分）设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则（9分）（11分）由图知二面角为锐二面角，故其大小为（12分）19（2）解法二：过作平面的垂线，垂足为，即为所求（8分），过作的垂线设垂足为，即 （10分）在中 （11分）所以二面角的大小为 （12分）20（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 20（1）解：（1）在中，（1分）由 （3分）得，解得（6分）（2），（7分）在中，由正弦定理得，即 （9分）又 （10分）（文）记的周长为，则=（13分）时，取得最大值为. （14分）（理）记的面积为，则， （13分）时，取得最大值为.
10、 （14分）21（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 （文）解：(1)依题意，（2分） 由，得， （ 4分）设， ；（6分）(2)如图，由得，（10分）依题意，设，线段的中点，则，（12分）由，得，（14分）（理）解:（1）是偶函数， （2分）即， （3分）又恒成立即当时 （4分）当时， （5分）当时， （6分） 综上： （7分）（2）（9分）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数（10分）令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为（14分）22.
11、解（1）由题可得，设则，（1分）点在曲线上，则，（2分）解得点的坐标为. （4分）（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，由得，即，故，（2分）同理得，（4分）直线的方程为 （6分）(3) 依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：.由 得，（2分）设，则，同理，则，同理.（4分）所以：的斜率为定值. （6分）23.（文）解：（1）令得，即；（2分）又 （4分）（2）由和， （6分）所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以（7分）解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，对任何正整数，只要取，即是数列的第项最小的公比所以（
