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1、第26讲 进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制典型问题1在几进制中有413=100【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)(3)=(12)但是，式中为100，尾数为0 也就是说已经将12全部进到上一位 所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制 我们知道(4)(13)=(52)，因52 100，也就是说不到10就已经进位，才能是10
2、0，于是我们知道10 所以，只能是62在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9所以变为遇9进1也就是九进制 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以，首位为5 评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往
3、左数每3个数一组化为8进制 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)3在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 ()=626+=36+6+； ()=92+9+=81+9+ 所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80； 因为35是5的倍数，80也是5的倍数所以3也必须是5的倍数，又(3，5)=1 所以，=0或5 当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、0，所以=16，=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16 当=5，则35=35+80；则7=3+16；mod 7后，
4、3+20 所以=2或者2+7(为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2 于是，35=15+802；=5 于是() =(552)=562+56+2=212 所以这个三位数在十进制中为2124设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、及 【分析与解】 我们注意 -得：(-1)+(-1)=1987-25 则(-1)(+1)+(-1)=1962， 即(-1)(+1)+=1962 所以，1962是(-1)的倍数 1962=29109：当-1=9时，=10，显然不满足； 当-1=18时，=19，则（-1)(+1)+=18(20+)=1962；则20+=1
5、09，所以， 显然，当=109不满足，=2109不满足，当=9109也不满足 于是为(59B)=(1987)，B代表115下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少? 【分析与解】 于是，我们知道=4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=66. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)=2=(10000000000)2 于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中
6、情况 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=则，可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1于是为=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个. 7计算：26的余数 【分析与解】= 26=(222)所以，26=(222)(222)整除(222)，20033：6672，所以余(22)=8所以余数为88一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个? 【分析与解】 我们设(3)=(4)=(5)； 我们知道(4) 在(400)(488)之间，也就是4925
7、92-1，也就是324406； 还知道(5) 在(500)(577)之间，也就是582682-1，也就是320383； 又知道(3) 在(300)(399)之间 所以，这样的三位数应该在324383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天? 【分析与解】 我们注意到每天12348163264前若干天的和220042前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为2，前12天是2,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知所以共需12天. 每天11248163264前若干天的和1248163264128改写为2进制110100100010000100000100000010000000 2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天
