《数学文二轮教师用书：第3部分 策略1 1.函数与方程思想 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学文二轮教师用书：第3部分 策略1 1.函数与方程思想 Word版含解析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1目标函数法求最值【典例1】(1)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|2
2、，则的最小值为_(2)已知斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_(1)3(2)(1)E，F是y轴上的两个动点，且|2，不妨设E(0，t)，F(0，t2)，则(0，t)(1,0)(1，t)(0，t2)(2,0)(2，t2)，t22t2.令f(t)(t1)233，当且仅当t1时取等号即的最小值为3.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2，|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法.(1)有关长度
3、、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法.(2)求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】已知在半径为2的扇形AOB中，AOB120，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为_建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，A(2,0)，C，则(2,0)，设P(2cos ，2sin )，则(2,0)(2cos ，2sin )，即解得则sin cos sin()，其中tan ，据此可知，当sin()1时，取得最大值.【对点训练2】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为_2如图，三棱柱
4、ABCA1B1C1为正三棱柱AB2，三角形ADE为直角三角形，ADE90.设BDx，CEy，则AD24x2，AE24y2，ED24(yx)2.AE2AD2DE2，4y24x24(yx)2，解得yx.AE24y2424(2)212.AE2，当且仅当x时取等号即直角三角形斜边的最小值为2.应用2分离参数法求参数范围【典例2】(1)若方程cos2xsin xa0在上有解，则实数a的取值范围为_(2)已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_(1)(1,1(2)(1)由cos2xsin xa0，得asin2xsin x1.
5、问题变成求函数asin2xsin x1在x上的值域问题a2，而0sin x1，10.f(x)在0,1上单调递增f(x)minf(0)1，存在x21,2使1x22ax4，即2ax在1,2上有解，2amin，易知yx在(0，上递减，yx在1,2上递减min2，2a，a，a的取值范围为.(1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.(2)对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.不等式有解、恒成立求参数的方法：g(a)f(x)
6、恒成立，则g(a)f(x)max.g(a)f(x)恒成立，则g(a)f(x)有解，则g(a)f(x)min，g(a)f(x)有解，则g(a)f(x)max.(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是_2，)当x0时，不等式x2a|x|10恒成立，此时aR，当x0时，则有a，设f(x)，则af(x)max，由基本不等式得|x|2(当且仅当|x|1时取等号)，则f(x)max2，故a2.【对点训练4】已知函数f(x)lg，其中a为常数，若当x(，1
7、时，f(x)有意义，则实数a的取值范围为_参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其他变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”由0，且a2a120，得12x4xa0，故a.当x(，1时，y与y都是减函数，因此，函数y在(，1上是增函数，所以max，a，故a的取值范围是.应用3构造函数解不等式、比较大小【典例3】(1)已知函数f(x)满足f(x)f(x)，在下列不等式关系中，一定成立的是()Aef(1)f(2)Bef(1)f(2)Cf(1)ef(2) Df(1)ef(2)(2)已知偶
8、函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，xf(x)2f(x)，则使f(x)0成立的x的取值范围为()A(，1)(0,1)B(1,0)(0,1)C(1,0)(1，)D(，1)(1，)(1)A(2)B(1)f(x)f(x)，f(x)f(x)0.令g(x)，则g(x)0，g(x)单调递减，又12.g(1)g(2)，即，ef(1)f(2)选A.(2)令F(x)x2f(x)，则F(x)2xf(x)x2f(x)x2f(x)xf(x)当x0时，由题设可得F(x)0，即函数F(x)x2f(x)是单调递减函数，当x0时，函数F(x)x2f(x)是单调递增函数又由题设可知F(1)F(1
9、)0，所以不等式F(x)0的解集是(1,0)(0,1)，则不等式f(x)0的解集是(1,0)(0,1)故选B.(1)根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数.(2)根据式子的结构构造相应函数：(xmf(x)xm1(mf(x)xf(x)；(exf(x)ex(f(x)f(x)；(xln x)ln x1.【对点训练5】若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2C设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图象可知两函数图象的交点x0(0,1)，因此函数
10、f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数又0x1x21，g(x1)g(x2)，x2ex1x1ex2，故选C.【对点训练6】定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为()A(，0) B(0，)C(，2) D(2，)B构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)1，解得x0，所以不等式的解集为(0，)故选B.应用4利用方程思想求值【典例4】(1)函数f(x)xl
11、n x在点P(x0，f(x0)处的切线与直线xy0垂直，则切点P(x0，f(x0)的坐标为_(2)(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.(1)(1,0)(2)811(1)f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得f(x0)(1)1，即f(x0)1，ln x011，ln x00，x01，f(x0)0，即P(1,0)(2)法一：由题意，得即解得法二：1008119(只)，81327(元)，1002773(元)假
12、设剩余的19只鸡全是鸡翁，则51995(元)因为957322(元)，所以鸡母：22(53)11(只)，鸡翁：19118(只)方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(a38)2(a210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：由a110，d2，得：Sn10n2n211n2，n5或n6时，Sn取最小值30.法二：由(1)知，an2n12.所以，当n7时，an0；当n6时，an0.所以，Sn的最小值为S5S630.应用5方程思想与不等式【典例5】关于x的一元二次不等式x2axb0的解集为(，3)(1，)，则不等式ax2bx20的解集为()A(3,1) B.(2，)C. D(1,2)C由关于x的一元二次不等式x2axb0的解集为(，3)(1，)，可知方程x2axb0的两实数根分别为3,1，则解得所以不等
