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1、第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础教学重点：掌握逻辑代数的基本概念、定理和规则、逻辑函数的表示法、函数的卡诺图化简。教学难点：逻辑代数定理和规则的应用，各种逻辑表达式之间的转换方法。21逻辑代数的基本概念 建立逻辑代数的概念，以区别普通代数，不能简单地把普通代数的规律照搬到逻辑代数中来。211 逻辑变量 逻辑代数中也用字母代表变量，但通常用一个字母代表一个变量。 逻辑变量的取值只能是0或1，代表的是事物矛盾着的双方；判断事件的真伪和是非，无大小和正负之分。在数字系统中，代表开关的接通现断开，晶体管的导通与截止，电压的高(5V)低(0V)，信号的有无等。212 逻辑运算 三种基本的逻辑运算
2、：或 、与、 非。 或 运算概念：着重因果关系。 或 运算关系表达式：F=A+B 或者 F=AB。 或 运算口诀：有1出1和都0出0。 与 运算概念：着重因果关系。 与 运算关系表达式：F=AB，或者 F=AB ，或者 F=AB。 或 运算口诀：有0出0和都1出1。 非 运算概念：着重因果关系。 非 运算关系表达式：F=，或者 F= A。 非 运算口诀：反0出1和反1出0。213 逻辑函数 逻辑表达式：用基本逻辑运算符把逻辑变量连结起来的式子。 逻辑函数：概念与普通代数一样，不过，在逻辑代数中，将自变量叫做输入变量，将因变量(函数)叫做输出变量。 输入变量和输出变量(函数)的取值都只能是0或1
3、； 逻辑函数与输入变量之间的对应关系是由三种基本逻辑运算决定的。 逻辑函数的相等：要求很严格，对应于输入变量的任何一组取值组合，两个函数的值都应该相同，这两个逻辑函数才相等。否则为不相等。 例如：可用真值表验证两函数和是否相等。 列表时，应将输入变量写在表的左边，输出变量写在表的右边。n个输入变量的2n个取值组合一个也不能漏，这要养成按000111递增的顺序填写的习惯。22逻辑代数的公理、定理及规则221逻辑代数的公理和基本定理 1公理系统：如交换律、结合律、分配律、0-1律、互补律等共5个公理。其中应注意到加法也有分配律：。2基本定理：共有8个基本定理，其中每个定理中又有两个互为对偶式的定理
4、，课文只证明其中一个。定理3可用来消去一个或项，定理4可用来消去一个因子，定理6是摩根定理，定理7用来将两个或项合并成一项，定理8用来消去冗余项。应用这些定理可将一个逻辑表达式简化。简化逻辑表达式在数字逻辑设计中有着重要意义，一方面它可以节约元件，降低成本；另一方面可以提高逻辑电路的可靠性。222逻辑代数的重要规则 1代入规则：用于从一个公式推导出更多的公式。 2反演规则：用于方便地求出一个函数的反函数。 方法是：将函数表达式中的所有逻辑变量变反，并将和号互换、0和1 数字互换即得这个函数的反函数。 3对偶规则：用于方便地证明一个逻辑等式。 方法是：将函数表达式中的所有的 和号互换、0和1 数
5、字互换即得这个函数的对偶函数。 将一个等式两边的逻辑表达式都变成对应的对偶式，这两个对偶式仍然相等。这在证明逻辑等式时十分有用。当一个逻辑等式较难证明时，往往用它们的对偶式来证明。23 逻辑函数表达式的形式与转换231 逻辑函数的表示法 1逻辑表达式：所谓公式法。由逻辑变量、常量和运算符号所构成的式子。2真值表：所谓表格法。一般用于不超过4变量的逻辑函数。因为如果有5变量的逻辑函数，这个真值表就应有2532行，随着变量数目增多，真值表的行数急剧增大。3卡诺图：所谓图形法。一般用于不超过6变量的逻辑函数，不同变量数的卡诺图形状不同。有时相同变量数的卡诺图形状也可设计成不同，这视方便而定。232
6、逻辑函数表达式的基本形式 两种基本形式：积之和表达式和和之积 表达式。 积之和表达式即与-或表达式； 和之积表达式即或-与表达式。233 逻辑函数表达式的标准形式 1最小项表达式：又称标准与-或表达式。表达式中的每一个与项都是最小项。 什么是最小项？什么是最小项表达式？ 最小项的性质： 对于输入变量的每一种取值组合，只有一个最小项的值为1，其余的最小项的值皆为0。即最小项为1的几率最小。 任何两个最小项的乘积为0。 n个变量的所有2n个最小项之和恒为1。(或运算是有1出1)。 一个逻辑函数可以有许多不同的与-或表达式，但它的最小项表达式却是唯一的。 最小项表达式的简化写法：F(A,B,C)=m
7、(2,3,6,7)= m2m3 m6 m7, 要注意输入变量写法的顺序。 2最大项表达式：又称标准或-与表达式。表达式中的每一个因子项都是最大项。 什么是最大项？什么是最大项表达式？ 最小项的性质： 对于输入变量的每一种取值组合，只有一个最小项的值为0，其余的最小项的值皆为1。即最小项为1的几率最大。 任何两个最小项的乘积为0。 n个变量的所有2n个最小项之积恒为0。(与运算是有0出0)。 一个逻辑函数可以有许多不同的或-与表达式，但它的最大项表达式却是唯一的。 最大项表达式的简化写法：F(A,B,C)=M(2,3,6,7)= M2M3M6M7, 也要注意输入变量写法的顺序。 3两种标准形式之
8、间的关系 最小项和最大项之间的关系：互补关系。即有Mi 或者 mi；如三个变量ABC的逻辑函数的一个最小项为，则234 逻辑函数表达式的转换 1代数转换法 代数转换法是利用逻辑代数的公理、定理和规则对函数表达式进行逻辑变换。应注意：变换出来的函数表达式是和原函数表达式相等的。转换成最小项表达式(标准与-或表达式)的步骤： 转换成一般与-或表达式。 将一般与-或表达式中非最小项都扩展成最小项。例如三个变量ABC的逻辑函数表达式F=A +中，两项都是非最小项。第一项少B和C两个因子，第二项少一个A因子。缺少哪个因子就乘以这个因子的互补项之和。如A=A(B+)(C+)，=( A+)。展开即得各个最小
9、项。转换成最大项表达式(标准或-与表达式)的步骤： 转换成一般或-与表达式。 将一般或-与表达式中非最大项都扩展成最大项。例如F(A,B,C)=A +=(A+)(A+C) （应用加法的分配律），第一个因子缺少C，应加上这个变量的互补项之积C，第二个因子缺少B，应加上这个变量的互补项之积B，然后再分别应用加法分配律。如(A+)=(A+ C)=(A+ C)(A+)；(=M2M3) (A+C)= (A+C+ B) =(A + B+C)(A +C)；(=M0M2) 故F(A,B,C)=A +=(A+ B + C) (A+ C)(A+)；(= M0M2M3)。 2真值表转换法 一个逻辑函数的真值表与它的
10、最小项之和的形式有一一对应的关系。有了真值表，就可以方便快捷地写出这个逻辑函数的最小项之和的形式，以及最大项之积的形式。由真值表出逻辑函数的最小项之和的形式：取出函数值为1的那些最小项相加。由真值表出逻辑函数的最大项之积的形式：取出函数值为0的那些最大项相与。(参见P41表2.9真值表和P42表2.10真值表)24 逻辑函数的化简逻辑函数化简的必要性：逻辑函数是设计逻辑电路的依据。如果一个与或逻辑表达式的项数越少，每一个与项的变量数目越少，那么所设计的逻辑电路所用的元件就越少，复杂程度秒越低，成本就越便宜，并且可靠性越高。逻辑函数的最小化：把逻辑函数化简成最简形式。化简方法：2 代数化简法因技
11、巧性强，故不作要求。必须指出：或与表达式的化简方法是：先将它的对偶式化成最简的与与表达式，然后再将它转化成对偶式。(或与表达式的对偶式是或与表达式，再求对偶式就是或与表达式)22 卡诺图化简法1. 卡诺图的构成形状：二变量卡诺图有22=4个小方格；三变量卡诺图有23=8个小方格；四变量卡诺图有24=16个小方格；一般4个小方格和16个小方格的卡诺图组成正方形；8个小方格的卡诺图组成长方形。(当然，也有五变量和六变量的卡诺图，它们有不同的设计方法) 坐标轴：也有横轴和纵轴。与普通代数中的平面直角坐标轴的称呼不太相同。下面的方法把坐标轴和变量联系起来记忆，可以方便学习。二变量(A,B)卡诺图的横轴
12、称为A横轴，纵轴称为B纵轴；三变量(A,B,C)卡诺图的横轴称为AB横轴，纵轴称为C纵轴；四变量(A,B,C,D)卡诺图的横轴称为AB横轴，纵轴称为CD纵轴。坐标： 横坐标从左到右，纵坐标从上到下都按升序。 当坐标轴为一个变量时，升序为0，1。如A横轴，对应坐标为，A。余类推。 当坐标轴为二个变量时，升序为00，01，11，10。(注意：这种升序是二进制数00，01，10，11对应的格雷码)， 如AB横轴，对应坐标为，B，AB，A。余类推。 当坐标轴为三个变量时，升序为000，001，011，010，110，111，101，100。(注意：这种升序是二进制数000，001，010，011，100，101，110，111对应的格雷码)卡诺图中小方格的内容： 每一个小方格代表一个最小项。如同平面直角坐标系一样，平面上的每一个点的坐标是先横后列。例如四变量的卡诺图中，最小项m5对应的AB横轴坐标为01(即为B)，CD纵轴坐标为01(即为D)，故m5=BD。2. 逻辑函数在卡诺图上的表示若逻辑函数表达式是最小项之和的形式，如F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= m2m3 m6 m7,则在直接在三变量卡诺图中对应m2、m3、m6、m7的小方格内填1，其余方格填0。填1的方格称为1方格，填0的方格称为0方格。一般不填0方格，以求图象清淅。若逻辑函数是与或 表达
