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1、导数基本思想总结1.分类讨论思想分类讨论通俗地讲就是“化整为零，各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。解决这类问题的关键是找出分类的动机，即为什么分类？分类的对策如何，即怎样分类？本章中主要涉及由参数变化引起的分类讨论，如何含参数的函数的单调性、极值、最值，求参数范围等问题中都会用到。【例1】 设函数 .(1) 如果，点为曲线上一动点，求以为切点的切线斜率最小的切线方程；(2) 若时，恒成立，求的取值范围.1、 已知函数 (1) 若曲线在点处的切线与在点处的切线相互平行，求实数的值.(2) 讨论函数的单调性.(3) 当时，记函数的最小值为.求证：.2、已知函数(1)若曲线在在点处
2、的切线与直线垂直，求的值.(2)若恒成立，试确定实数的取值范围.2.函数与方程的思想函数与方程的思想是中学数学的基本思想，函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质，是问题得到解决；而方程的思想就是分析数学问题中的变量见的等量关系，从而建立方程(组)解决问题.【例2】已知函数，若在区间内恒成立，求实数的取值范围.【点评】本体将从不等式中分离出来，通过构造函数，使问题转化为研究函数值域.利用函数单调性是问题得解.3.数形结合的思想数形结合思想是通过“以形助数，以数助形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从形的直观和数的严
3、谨两方面思考问题.在本章中的应用体现到建构函数模型并结合图像求参数的取值范围、研究方程根的个数、求函数最值问题、证明不等式等方面.【例3】若平面向量，且存在实数和，使得，且.(4) 求的关系式，并求其单调区间；(5) 点在曲线上移动时，求过点的切线的倾斜角的取值范围；(6) 若与有三个交点，求的取值范围.【点评】函数的单调性与函数的导数密切相关，即单调递减；另外，导数的几何意义为曲线上某一点的切线斜率等于函数在该点的导数值.问题（3）根据函数的单调性和极值作出函数的示意图，从而用“数形结合”的思想方法，利用图象确定交点的个数，要认真体会这一解题思想.4转化与化归的思想转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题是采用某种方式，借助某种函数性质、图像或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的目的，等价转化总是将抽象化为具体，将未知转化为已知，通过变换迅速而合理地寻找和选择问题的解决方法.【例4】已知函数.(1) 求函数在上的最大值与最小值；(2) 求证在区间上，函数的图像在函数的图像的下方.【点评】(1)按照通常的思路，对函数求导，判断导数的正、负和极值点，进而求函数在闭区间上的最大值和最小值.(2)将函数的图像的位置问题转化为两个函数值大小的比较，从而构造一个新的函数，再求新函数的单调性，确定新函数的取值范围.2
