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1、数列的概念与简单表示考点与提醒归纳一、基础知识1. 数列的概念(1) 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的项.(2) 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 1,2 , ,)为定义域的函数a=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值.数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.2. 数列的分类(1) 按照项数有限和无限分:有限数列：项数有限个;无限数列：项数无限个;递增数列：a打a”,、，、 (
2、2)按单调性来分：递减数列：a 2(2)-Sn = 2an+1，当 E 时，-1=2。-1 + 1 ,气= Sn - Sn_1= 2an - 2an 一,即 an = 2an 一.当 n=1 时，a1=S1 = 2a1 + 1 ,得a1=- 1.数列aj是首项a1为-1 ,公比q为2的等比数列，a = - 1X2n-1=-2n-1.n3，n=1，答案(1)an=j2(2)2n-12n， n 2解题技法1.已知Sn求。的3个步骤(1) 先利用a=S1求出?；(2) 用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用a=SSn_2)便可求出当巳2 时an的表达式；(3) 注意检验n=1时的表达式是否可以
3、与nN2的表达式合并.2. Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.(1) 利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.(2) 利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含a”，an-1的关系式，再求解.题组训练1. 设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2(an1)(nEN*)，则 an = ()A. 2nB. 2n1C. 2nD. 2n 1解析：选C当n- 1时，1/5/20-1)，可得a1 = 2 ,当 nN2 时，an-Sn-Sn-1-2an-2an-1 ,a -2a| ,n n-1数列an为首项为2，公比为2的
4、等比数列,a -2n.n2. 设数列an满足 a + 3a2+，+(2n 1)an=2n，则 an=, 解析：因为 a1 + 3a2 + + (2n-1)an - 2n ,古攵当 N2 时,a1 + 3a2 + + (2n - 3)an -1 - 2(n - 1).两式相减得(2n-1)a/2,所以2an-(nN2).又由题设可得a1 -2，满足上式，2 从而an的通项公式为an-2n答案:22n1考点二由递推关系式求数列的通项公式典例(1)设数列an满足 = 1,且an+=an+1(EN*),则数列an的通项公式为n 1(2)在数列a中，a1 = 1 , an =一厂aq _ N2),则数列
5、a的通项公式为已知数列an满足a1 = 1,an+1 = 3an+2,则数列an的通项公式为解析(1)累加法由题意得 a2=a1+2, a3=a2+3,，an=an_1+n(n2),以上各式相加，得an=a1+2 + 3n.又=1,.*.a =1+2 + 3 +n= nn2+n2(nN2).,当n= 1时也满足上式，.a 今n2n2+nz(nEN*).(2)累乘法n-1.十；an-2)，n - 2n - 3an-1=；7-2，-2=;。” -3，n-1n-2以上(n - 1)个式子相乘得1 2-1_务_ 1a =a 天写 t .n 123 n n n当n 1时，气1，上式也成立.a L(nEN
6、*).nn(3)构造法.气+1 3an+2，an+1+13(an+D.an+1 + 1 3，an+1数列an + 1为等比数列，公比q 3，又a1 + 12，an+12-3n-1，a 2,3n-1 - 1(nEN*).n2+n1答案(1)an=丁(nEN*) (2)an=n(nEN*) (3)an=23n-1 1(nE N*)解题技法1. 正确选用方法求数列的通项公式(1) 对于递推关系式可转化为+则)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其 通项公式.(2) 对于递推关系式可转化为T=fn)的数列，并且容易求数列f(n)前n项的积时，采n用累乘法求数列 an 的通项公式.(3) 对于递推关系
7、式形如an+=pan+q(p/0,1,qN0)的数列，采用构造法求数列的通项.2. 避免2种失误(1) 利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写至，漏掉而导 致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立.(2) 利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.题组训练1.(累加法)设数列an满足。=3，an+1=an+n(n+1)，则通项公式an=.解析：原递推公式可化为an + 1=an +土，1 n n+11 11 11 11贝 U a = a +丁 -二，a =a +二-二，a =a + t 7 , ,a =a +211 232 2
8、343 3 4n- 1 n-2 n _ 21 n-1，气1 + - 1 ,以上(n - 1)个式子的等号两端分别相加得，a 二名+ 1 - 1 ,故a = 4 - 11 n-1 nn 1 nn n答案：4-n2.(累乘法)设数列an满足a1 = 1，an+1=2nan，则通项公式an=,a解析：由 an+1=2nan，得 = 2n-i(nN2)，an-1a a _ 1 an(n - D所以anan-1 an-2a1又a1 1适合上式，故ann(n - 1)2 2答案：2n(n - 1),1 2n - 1*2n - 22，1=21+2 + 3 + + (nT) = 23. (构造法)在数列%中，
9、 = 3,且点Pn(an，a”+)(EN*)在直线4x-y+1 = 0上，贝懒 列an的通项公式为.解析：因为点 Pn(an , an+)(nEN*)在直线 4x -+ 1 = 0 上，所以 4an - an + + 1 = 0 ,即 an + =4a +得a |+ = 4（a +）所以a +是首项为气+ = 0公比为4的等比数列，+1 n n J n+1 3 k n 3Jn 31 3313.1 _ 1010所以 a”+ =亍4-1，故 a” 二亍4-1101合案：an=y-4n-13考点三数列的性质及应用考法（一）数列的周期性L.1I 2an，0an2，典例数列an满足an+1 =1a1 =
10、 *则数列的第2 019项为、2a 1, =a 1,n 2 n31 一 2 一 4 一 3解里木斤 1因为 a =,故a= 2a- 1 = , a= 2a f a 2a fa 2a- 1 = , a = Ja1 52 a15 3 a2 54 a3 55 a456122a5-1=5, a7 = 2a6 = 5,，2 故数列an是周期数列且周期为4 ,故a2 019 = a504x4 + 3=a3 二；.2答案5考法(二)数列的单调性(最值)典例(1)(2018百校联盟联考)已知数列an满足2Sn=4an1,当nN*时，(log2an)2 +mg2an是递增数列，则实数久的取值范围是.(2)已知数
11、列an的通项公式为an=(n+2)(7Jn，则当an取得最大值时，n=.解析(1)v2Sn = 4an - 1,2Sn -1 = 4an -1 - 1(n2),两式相减可得 2an = 4an - 4an -1(n2),二an = 2an _ N2）.又 2a1 = 4a1 - 1，-a1 二 2 ,数列气是公比为2的等比数列,* = 2n - 2 ,设 q = (log20 恒成立，.43 - 2 恒成立， 77+1 n.(3 - 2)max故实数4的取值范围是(1 , + 8).当取得最大值时,有a Na |a Nan i解得nW6(+2)w), 、( + 2)(3 N ( + 3*) +1 ,当气取得最大值时， =5或6.答案(1)(1，+8)(2)5 或 6解题技法1. 解决数列的单调性问题的3种方法2. 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项
