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1、解几求解离心率的基本方法设椭圆的左、右焦点分别为,如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P(x,y），又知,则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法：利用二次方程有实根由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5:利用基本不等式 由椭圆定义，有平方后得 解法6:巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 故有水深火热的演练一、直接求出或求出a与b的比值,以求解。在椭圆中,1。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于2已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍,
2、则其离心率为3若椭圆经过原点,且焦点为，则椭圆的离心率为。已知矩形ABD，B4，BC=3，则以、为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。.若椭圆短轴端点为满足,则椭圆的离心率为。6。已知则当m取得最小值时，椭圆的的离心率为7椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点，当P1FA，POB（O为椭圆中心）时,椭圆的离心率为.9。P是椭圆=（b0）上一点,是椭圆的左右焦点，已知 椭圆的离心率为1.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点,若，则椭圆的离心率为 13。椭圆（ab0)的两顶点为A（，0）B(
3、0,b)，若右焦点F到直线A的距离等于F，则椭圆的离心率是. 14.椭圆(ab）的四个顶点为、B、C、D,若四边形ABD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是 15。已知直线L过椭圆(ab0）的顶点A（a，）、B（0,b），如果坐标原点到直线的距离为,则椭圆的离心率是1。在平面直角坐标系中,椭圆1( 0）的焦距为2，以O为圆心,为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= 17.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ A）。必在圆内。必在圆上C。必在圆外D以上三种情形都有可能二、构造的齐次式，解出1.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是2以椭圆的右
4、焦点2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、两点,椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3。以椭圆的一个焦点为圆心作一个圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于、N两点,如果FMO,则椭圆的离心率是4设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是5已知F、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、B两点,若AB2是正三角形,则这个椭圆的离心率是6设分别是椭圆的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为 ( 为半焦距)的点，且，则椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1。已知、
5、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是2已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为3。已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点,且,椭圆离心率e的取值范围为设椭圆(a）的两焦点为1、F2，若椭圆上存在一点Q，使1QF2=20，椭圆离心率的取值范围为 5在中，,。若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率.6.设分别是椭圆（)的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是7。如图,正六边形ADF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是关于双曲线离心率一、利用双曲线性质例
6、1 设点P在双曲线的左支上,双曲线两焦点为,已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围.解析：由题设得:。由双曲线第二定义得：,由焦半径公式得：，则，即，解得。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质:若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。二、利用平面几何性质例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，,求双曲线离心率的取值范围.解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：,由三角形性质得：解得：.归纳：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质,如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形
7、结合例3 （同例2)解析:由例2可知:，点P在双曲线右支上由图可知：，,即,两式相加得:，解得：.四、利用均值不等式例4 已知点在双曲线的右支上,双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。解析：，由均值定理知:当且仅当时取得最小值，又所以，则.五、利用已知参数的范围例5 （000年全国高考题）已知梯形ABCD中，,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时,求双曲线离心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为,设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得,两式整理得,从而建立函数关系式，由已知得，,解得。六
8、、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线与直线：交于P、两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。解析:把双曲线方程和直线方程联立消去得：时,直线与双曲线有两个不同的交点则,，即且,所以，即且。七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。解析：设，弦PQ中点为M,由点差法求得，当点在双曲线内部时，整理得:无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。八、利用非负数性质例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围.解析:设，过左焦点的直线方程:,代入双曲线方程得:，由韦达定理得：，由OP得，即:，解得:，因为，所以，则,所以。文中如有不足，请您指教！ /
