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1、初中平方根的分析与教学摘 要：本文主要分析了平方根的基本概念，主要特点以及表示方式，并对平方根这一课进行了教学设计。平方根是开方运算的基础，为初一接下来的无理数的运算提供了知识准备。由“乘方”展开，使学生理解开方运算与乘方运算的相互关系，锻炼学生的逆向思维能力。再提出算数平方根这一概念，通过习题使学生逐渐掌握开方运算的运算，并能用以上知识解决实际问题。关键词：平方根，算数平方根，教学设计一、 平方根1、概念平方根（square root），又叫二次方根，对于非负实数来说，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。x2=a显而易见，知道x的情况下可以求出x的平方等于a，但是在知道a的情
2、况下如何求x就是求平方根的主要目的。2、表示方法这里引进了一个新的运算符号，根号（ ）。一个正数a的正平方根用“ a ”表示（读作“根号a”）；a的负平方根用“- a ”表示，（读作“负根号a”），因此一个正数a的平方根就用 a 表示（读作“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。” 正的平方根表示为 + a 读作“根号a”（正号通常可省略） 正数a负的平方根表示为 - a 读作“负根号a” 即a（a0）的平方根可表示为 a 读作“正、负根号a“。其中a称为被开方数。0的平方根是0负数没有平方根3、主要特点一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。 例：
3、9的平方根是3 。二、 算数平方根1、 概念正数的正平方根称为算数平方根。0的算数平方根是0。一个数a（a0）的算数平方根记作“ a “。例如9的算数平方根是3，即 9 =3，0.01的算数平方根是0.1，即 0.01 =0.1。2、 主要特点算数平方根的主要特点是非负性。三、 平方根与算数平方根的分析1、学生对于平方根的概念初步形成，对简单的开平方运算能够进行计算。例如9的平方根啊3即 9 =3.但是对一些不能直观计算出来的数字的平方根容易混淆，例如10的平方根是 10 ，学生很容易产生10没有平方根的错误思想。所以通过平方根这一节课的学习使学生逐渐掌握易求数字的开平方运算以及不易求数字用
4、表示计算结果。2、小学已经学习了加、减、乘、除四则运算。求一个数的平方根的运算也是一种运算，称为开平方运算。开平方是平方运算的逆运算，因此可以运用平方运算求一个数的平方根。习题中常会出现，例如116的算数平方根是多少。学生很容易就写14，从而忽视根号的存在。因为他们对平方根的知识体系还未形成，不能自然而然的反映出根号就是求116的算数平方根。所以这里存在两个运算，116=14所以可以把题目转化为14的算数平方根。转化后的题目就很简单，答案是123、 如何求一个数的平方根。我们通常会出现选择题，例如“求4的平方根“或解方程”x2=4“，这两种类型的题目可以总结为一类就是求4的平方根，答案是有两个
5、，正负2. 但是初中生的意识里面只有正数是根深蒂固的，很容易忽略负2.所以要加强学生对平方根的理解，就要反复训练题目，从题目中吸取经验，逐渐掌握。4、平方根与算数平方根易混淆。例如 9 =-很多学生会以为是求平方根，从而写3.这里要明确，出现 求的是算数平方根,出现“- “求的是负的平方根，出现” “求的才是平方根。所以以数学文字描述的问题我们一般与根号前的符号保持一致，当用文字表述问题时，如求一个数的平方根，我们才能根据实际情况添加正负号。5、被开方数越大，平方根的绝对值就越大。我们可以令x=y2，即y=x ，其中y是x的平方根。我们可以绘制得图像实线部分是y=x的绘图部分，我们可以发现y的
6、值随x的增大而增大，但是y的递增趋势是逐渐减少的，也就是说x越大，x的变化对y的影响越小。而虚线部分是y=-x的绘图部分，其中y的值随x的增大而减小，同样y的递增趋势是逐渐减少的，也就是说x越大，x的变化对y的影响越小。这一知识点通常考察带根号的数与不带根号的数的相互转化以及大小比较。例如比较2和 5 的大小。我们可以把 5 化成小数，比较2与 5 的大小，也可以把2转化成带根号的数。因为2是4的算数平方根，所以 4 和2是相等的。从而我们可以比较 4 和 5 的大小来比较2和 5 的大小，以为4小于5，由上述规律我们可以得出2小于5 .四、 教学设计教学目标知识目标：理解平方根和算术平方根的
7、概念，了解平方与开平方的关系。能力目标：学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。情感目标：学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。教学重点和难点重点：平方根的概念。难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。教学过程一、 设疑引新记一记背一背112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324192=361 202=400用识记比赛的方式，激发学生的兴趣，同时能锻炼学生看到相应的数字能快速反应出对应的平方根。我们知道一
8、个数，很容易知道这个数的平方是多少，但是如果反过来，知道一个数的平方是多少，能求这个数吗？符合这样条件的数有几个？该如何表示？这些问题都是这节课要学习的内容，提出课题第三章 实数31平方根二、交流对话，探究新知例如（ ）2=324 大部分学生由上式中获得启发，认为括号中应该填18，所以应该反问，只有18的平方得324吗。这时候会有学生提出-18的平方也是324，此时教师在括号内填写18。教师提问：这时候，324问18，我是你的什么？学生回答：平方教师提问：那18是324的什么呢？教师回答：已知某数的平方要求这个数，用式子来表示就应是：如果x2a，求x的值这和我们一开始提出的问题，求一个已知数的
9、平方正好是相反要解决这样一个问题，就须在数学上引进一个新的概念平方根（引出平方根的概念）平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫二次方根）如：224，2是4的平方根；（-2）2=4，（-2）也是4的平方根即 4的平方根是2平方根的表示及读法：这里引进了一个新的运算符号，根号（ ）。一个正数a的正平方根用“ a ”表示（读作“根号a”）；a的负平方根用“- a ”表示，（读作“负根号a”），因此一个正数a的平方根就用 a 表示（读作“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。” 正的平方根表示为 + a 读作“根号a”（正号通常可省略） 正数a负的平方根表示为 - a
10、读作“负根号a” a是2a的简写，通常省略指数2即a（a0）的平方根可表示为 a 读作“正、负根号a“。其中a称为被开方数。例：写出25，0.09，-0.36,0,7的平方根教师板书 25=5 0.09=0.3 -0.36没有平方根 0的平方根是0 7的平方根是7平方根的性质：通过以上练习，得出下列法则：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。大多数正数的平方根不能用整数来表示，学生很容易认为不能用整数表示平方根的数没有平方根，所以应该反复强调正数都有两个平方根，并引导学生去用根号的式子去表示，例如7的平方根，就应该保留根式。求一个数的平方根的运算叫做开平方
11、教师提问：开平方和乘方运算是什么关系？学生引导学生回答，利用了乘方运算是开平方的逆运算得出的.例1 求下列各数的平方根： （l）1 （2）（-23）2（3）0.36 （4）11125分析：如何求1的平方根？就是要求一个数x，使x的平方等于9，即求满足x21的x的数值因为（1）21，故满足x21的x的数值是1或-1，所以1的平方根是1【来源：21世纪教育网】（2）（3）（4）仿照上面的方法，解题的格式与步骤教师板演.强调：（l）1的平方根表示方法是1=1，而不是1即不要写成1=1 （2）带分数开平方时，要先把带分数化成假分数. （3）有幂的先进行幂运算。 （4）一个正数有两个平方根，这两个平方根
12、是互为相反数，而不是一个算数平方根：正数的正平方根和0的平方根统称为算数平方根。一个数a（a0）的算数平方根记作a，a表示的是算数平方根，它具有非负性。例 求下列数的算数平方根121 116 0.09 （-7）2 0 10三、梳理概括，形成结构（1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；（2）正数a的平方根的表示方法为；它的算术平方根的表示方法为；（3）求平方根时，应把被开方数中的带分数化为假分数四、变式练习，扩展新知（1）已知一个正数x的平方根是m+3和2m-15，求m利用正数的两个平方根互为相反数的性质，相反数相加得0，所以可得（m+3）+（2m-15
13、）=0，解得m=4（2）a-3=0，求a利用0的平方根为0解得a=3，求ab a-3+|b-1|=0利用算数平方根和绝对值的非负性，解得a=3，b=1，所以ab=3五、反馈评价 （1）如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根；（2）正数a的平方根有两个，它们的绝对值相等，符号相反，即它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；21世纪教育网版权所有（3）正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根； （4）求一个数的平方根的运算叫做开平方，平方和开平方互为逆运算【参考文献】1范良火，七年级上册数学，浙江教育出版社，2012年7月1版。2薛金星，七年级教材全解数学，陕西人民教育出版社，2010年6月 作者联系方式：尤瑞莹，力洋初中，18858215256,
