投资学讲义第3章(2)概要

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1、3.2 资产组合理论 第3章 投资组合理论 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发 表的投资组合选择为标记 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提 出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM） 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模 型（Arbitrage pricing theory，APT）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够 真正地依据定价理论的问题也发生了爱好，1965年， Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说 （Eff

2、icient market hypothesis，EMH） 天津高校管理与经济学部 投资学 2 3.2 资产组合理论 基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标 准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即 投资者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期 投资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。 天津高校管理与经济学部 投资学 3 3.2.1 组合的可行集和有效集 可行集与有效集 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的全部组 合的期望收益和方差。 有效组合（Ef

3、ficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个 点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界 （ Efficient frontier）,它是有效组合的集合 （点的连线）。 天津高校管理与经济学部 投资学 4 两种风险资产构成的组合的风险与收益 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系 数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收益和方差为 rp = w1r1 w2 r2 2 2 p w12 12 + w2 22 + 2 w1 w2 12 2 2 w12 12 + w2 2

4、 + 2 w1 w2 1 2 12 留意到两种资产的相关系数为1121 因此，分别在121和121时，可以得 到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。 其他全部的可能状况，在这两个边界之中。 由于 w1 w2 = 1，则 rp ( w1 = w1r1(1 w1 r2 p ( w1 w12 12 + (1 w1 2 22 + 2 w1 (1 w1 1 2 12 由此就构成了资产在给定条件下的可行集！ 天津高校管理与经济学部 投资学 5 天津高校管理与经济学部 投资学 6 1 3.2.2 两种完全正相关资产的可行集 两种资产完全正相关，即12 1，则有 组合的风险收益二维表示 收益rp p ( w

5、1 w1 1 + (1 w1 2 rp ( w1 = w1r1(1 w1 r2 当w11时， p 1，rp = r1 . 当w10时， p 2，rp = r2 所以，其可行集连接两点 （r1， 1）和（r2， 2）的直线。 天津高校管理与经济学部 投资学 风险p 7 天津高校管理与经济学部 投资学 8 命题3.1：完全正相关的两种资产构成的可行 集是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得 p ( w1 = w11 + (1 w1 2 w1 = ( p 2 /( 1 2 rp ( p = w1r1 + (1 w1 r2 = ( p 2 /(1 2 r1 + (1 ( p 2 /( 1 2 r

6、2 = r2 r1 r2 则 从而 两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 削减到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许 买空卖空）。 收益 Erp (r1 , 1 1 2 2 + 1 2 r1 r2 p 投资学 9 天津高校管理与经济学部 (r2 , 2 投资学 风险p 10 故命题成立，证毕。 天津高校管理与经济学部 3.2.3 两种完全负相关资产的可行集 两种资产完全负相关，即12 =-1，则有 p ( w1 = w12 12 + (1 w1 2 22 2 w1 (1 w1 1 2 = | w1 1 (1 w1 2 | r p ( w1 = w1

7、 r1 (1 w1 r2 命题3.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两 条直线，其截距相同，斜率异号。 证明： 当 w1 1 + 2 p ( w1 = w1 1 (1 w1 2，则可以 得到 w1 = f ( p ，从而 p 2 p 2 r1(1 r 1 + 2 1 + 2 2 1 + 2 r1 r2 2 时 2 时 , p = 0 1 + 2 2 当 w1 时 ， p ( w1 = w1 1 (1 w1 2 1 + 2 2 当 w1 时 ， p ( w1 = (1 w1 2 w1 1 1 + 2 当 w1 = 天津高校管理与经济学部 投资学 11 rp ( p = = p + 1 + 2

8、 投资学 r1 r2 2 + r2 12 天津高校管理与经济学部 2 两种证券完全负相关的图示 同理可证 当w1 2 时, 1 + 2 p (w1 = (1 w1 2 w11，则 rp ( p = r1 r2 r r p + 1 2 2 + r2 1 + 2 1 + 2 收益rp (r1 , 1 1 +2 r r2 1 2 +r2 (r2 , 2 风险p 命题成立，证毕。 天津高校管理与经济学部 投资学 13 天津高校管理与经济学部 投资学 14 3.2.4 两种不完全相关的风险资产的 组合的可行集 总结：在各种相关系数下、两种风险资产 构成的可行集 收益Erp 当1 1时 rp ( w1 =

9、 w1r1(1 w1 r2 2 p ( w1 w12 12 + (1 w1 2 2 + 2w1 (1 w1 1 2 12 (r1 , 1 =1 尤其当0时 p ( w1 w + (1 w1 2 1 2 1 2 2 2 1 +2 r r2 1 2 +r2 (r2 , 2 =0 风险p 这是一条二次曲线， 事实上，当1 1时，可行集都是二次曲线。 =-1 天津高校管理与经济学部 投资学 15 天津高校管理与经济学部 投资学 DynamicWeights.xls 16 Figure：Portfolio Expected Return as a function of Standard Deviati

10、on 最小方差组合（最低风险组合） 在可行集中，方差最低的投资机会，成为最低 风险组合或最小方差组合。 2 min P = w12 12 + w22 22 + 2 w1 w2 12 1 2 s.t w1 + w2 = 1 w1，w2 0 天津高校管理与经济学部 投资学 17 天津高校管理与经济学部 投资学 18 3 2 min p = w1212 + w22 22 + 2w1 w2 1,21 2 2. 最小方差组合 最小方差组合: = .2 (.22 - (.2(.15(.2 w1 = (.152 + (.22 - 2(.2(.15(.2 w1 + w2 = 1 证券 1 E(r1 = .10

11、 证券 2 E(r2 = .14 1 = .15 = .2 2 = .20 12 2 - Cov(r1r2 2 w1 = 1 + 2 - 2Cov(r1r2 2 2 投资学 19 w1 = .6733 w2 = (1 - .6733 = .3267 天津高校管理与经济学部 投资学 20 w2 = (1 - w1 天津高校管理与经济学部 最小方差组合 = -.3 rp = .6733(.10 + .3267(.14 = .1131 (.22 - (.2(.15(.2 w1 = (.152 + (.22 - 2(.2(.15(-.3 2(.2(.15(- p = (.67332(.152 + (.

12、32672(.22 + 2(.6733(.3267(.2(.15(.2 1/2 w1 = .6087 w2 = (1 - .6087 = .3913 p= .0171 1/2 = .1308 投资学 21 天津高校管理与经济学部 投资学 22 天津高校管理与经济学部 最小方差组合 = -.3 rp = .6087(.10 + .3913(.14 = .1157 3种风险资产的组合二维表示 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两 两完全正（负）相关是不行能的，因此，一般假 设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。 收益rp 4 2 3 p = (.60872(.152 + (.39132(.

13、22 + 2(.6087(.3913(.2(.15(-.3 1/2 2(.6087(.3913(.2(.15(1/2 p= .0102 1/2 = .1009 投资学 23 1 风险p 天津高校管理与经济学部 投资学 24 天津高校管理与经济学部 4 n种风险资产的组合二维表示 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。 收益rp 总结：可行集的两特性质 1. 在n种资产中，假如至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的 因为随意两项资产构成的投资组合都位 于两项资产连线的左侧。 天津高校管

14、理与经济学部 投资学 25 风险p 天津高校管理与经济学部 投资学 26 不行能的可行集 收益rp B A 3.2.5 风险资产组合的有效集 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一 些投资组合。 其特点是： 在同种风险水平的状况下，供应最大预期收益率； 在同种收益水平的状况下，供应最小风险。 我们把满意这两个条件（均方准则）的资产组合，称 之为有效资产组合； 风险p 天津高校管理与经济学部 投资学 27 由全部有效资产组合构成的集合，称之为有效集 或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集 中产生，而对全部不在有效集内的其它投资组合 则无须考虑。

15、 天津高校管理与经济学部 投资学 28 马克维茨的数学模型 均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里马 克维茨等人于1952年建立的，其目的是找寻有效 边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者 是理性的：胆怯风险和收益多多益善。 因此，依据均值方差准则可以转化为一个优 化问题，即 （1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化 天津高校管理与经济学部 投资学 29 3.3 多种风险资产的有效边界 E(r 有效边界 最小 方差 组合 单个资产 可行集 St. Dev. 天津高校管理与经济学部 投资学 30 5 天津高校管理与经济学部投资学31Figure :The Minimum-VarianceFrontier of Risky Assets天津高校管理与经济学部投资学321111min s.t.,1n