《插值法与数据拟合法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《插值法与数据拟合法（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七讲插值方法与数据拟合 7.1引言在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(q, y,) (i = 1, 2,，n)揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观测数据与要求 的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 7.1.1插值方法1.引例1已经测得在北纬32.3。海洋不同深度处的温度如下表：表 7.1.1深度x (m)46671495014221634水温y (C。)7.044.283.402.542.13根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度(如500米、600米、1000米)处的水温。解决这个
2、问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。2.插值问题的基本提法对于给定的函数表xx0x.xy = f (x)-0yl其中f (x)在区间a, b上连续，x0，X，.，xn为a,b上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类P(x)|中，选出一个使 P(x.) = y， i = 0, 1, ., n(7.1.1)成立的函数P(x)作为f (x)的近似，这就是最基本的插值问题(见图7.1.1)。为便于叙述，通常称区间a, b为插值区间，称点x0，x1，.，xn为插值节点，称函数类P(x)为 插值函数类，称式(7.1.1)为插值条件，称函数P
3、(x)为插值函数，称f (x)为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。 7.1.2 数据拟合1.引例2在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下：表 7.1.2时间t (分)12345678浓度yx10-34.006.408.008.809.229.509.709.86时间t (分)910111213141516浓度yx10-310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t)的近似表达式(如建立浓度y与时间t之间的经验公式等)。从 几何上看，就是希望根据给定的一组点(1, 4.00)，
4、.，(16, 10.60)，求函数y = f (t)的图象的一条拟合曲线。2 .数据拟合问题的基本提法 对于给定的函数表xx0x.xnJ = f (x)_0Z1Ly其中f (x)在区间a, b上连续，%, %,，为为a, b上n + 1个互不相同的点，要求找一个简单合理 的函数近似表达式中(x)，使中(x)与f (x)在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题(见图7.1.2)。通常，我们称中(x)为给定数据点的拟合函数。图7.1.1插值问题示意图图7.1.2数据拟合问题示意图 7.1.3插值方法与数据拟合的基本理论依据插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的Weierstra
5、ss定理：设函数f (x)在区间a, b 上连续，则对Ve 0，存在多项式P(x)，使得max| f (x) - P(x)| e。xe a ,b 即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。 7.1.4实际应用中两种方法的选择在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方 法。具体说来，可从以下两方面来考虑：1 .如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证 插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。2.如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的， 那么宜选用数据拟合的方法。这
6、是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的 函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多， 如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。 7.2 一维数据的基本插值方法简介插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是, b上任意 光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样 条插值，及其Matlab实现。 7.2.1 一维数据的分段多项式插值对于给定的一维数据xx0x.xny = f (x)_0yly_分段多项式插值就是求一个分段(共n
7、段)多项式P(x)，使其满足P(x.) = y.(i = 0, 1,，n)或更高的要求。 一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式(不超过三次)。1 .分段线性插值分段线性插值函数P1(x)是一个分段一次多项式(分段线 性函数)。在几何上就是用折线代替曲线，如图7.2.1，故分段 线性插值亦称为折线插值。其插值公式为P (x) y +4 y，xgx.,x. (7.2.1)1 x - xi+1x - x i i i+1i+1iii+12.分段二次插值分段二次插值函数P2(x)是一个分段二次多项式。在几何上就是分段抛物线代替曲线y = f (x)，故分段 二次插值又称为分段抛物插值。其插值公
8、式为/、(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )P (x) =ii+1y +i-1i+1 y +i-1iy2(x - x)(x- x )i-1(x- x)(x- x ) I (x - x)(x- x ) I+1i-1ii-1i+1ii-1ii+1i+1i-1i+1i=如FIk=i-1J=i-K k LJ丰k(x - x )J-x 一 xJ 75-1，xi +1(7.2.2)3 .三次Hermite插值三次Hermite插值问题的基本提法一：已知一维数据xx0x1y = f (x)y0y1y，= f，(x)_o_m求一个三次多项式P3(x)
9、，使之满足P3 (x.) = y.，P3 (x.) = m，i = 0, 1(7.2.3)构造三次插值基函数(x)，a1(x)，p0(x)，p(x)，使之满足10, i j a i 气)= *，i = jp / 气)=0,a(x ) = 0,i,j = 0,1i jp (x ) = ?,;。j,i, j = 0,1i j 11, I = j(7.2.4)利用这四个插值基函数，取三次多项式P3(x)为P3 (x) = a0(x)为 + a1(x) J1 + P0(x) m0 + P1(x) m1将插值条件(7.2.3)式代入，可推得：(7.2.5)(x - x ) 顷1x0(x - x ) Y
10、x - x J01p 0(x)=(x-x)以(x)=0a (x)=i( 、x - x顷0x1 /x - x )x - x J102vx - x Y x0 -x1 Jx - x )Y x - x J10(7.2.5)、(7.2.6)两式构成了三次Hermite插值基本提法一的插值公式。 三次Hermite插值问题的基本提法二：已知一维数据P (x) = (x - x )(7.2.6)xx0x1x2y = f (x)y.yy。y，= f，(x)m】求一个三次多项式P3(x)，使之满足P3 (x.) = y，i = 0, 1, 2，P3 (x1) = m.(7.2.7)构造三次插值基函数a0(x),
11、 a(x), a2(x), p1(x)0, i j 。气)F，i = jPi( x,) = 0,利用这四个插值基函数，取三次多项式P3(x)为使之满足a(x ) = 0, i, j = 0,1,2i 1-，P1 (x1) = 1(7.2.8)P3 (x) = a0(x)七 + a1(x) J1 + a2(x)七 + P1(x) m1将插值条件(7.2.7)式代入，可推得：(7.2.9)a=3一气EE0(X0 - X1)2(X0 - X2)a (x) = (X-Xo)(X一号(7.2.10)1(X - X )2(x - X )a 3( x)=P1( x)=(X - X )(X - X )2(X
12、- X )(X - X )2(X - X )(X - X )(X - X )(X - X )(X - X )(7.2.9)、(7.2.10)两式构成了三次Hermite插值基本提法二的插值公式。 7.2.2一维数据的三次样条插值上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。 但它也明显存在着缺陷。它只能保证在每个小区间段X., X. +1内光滑，在各小区间连接点X.处连续，却 不能保证整条曲线的光滑、光顺性，难以满足某些工程的要求。对于象高速飞机的机翼形线：船体放样等 型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而由60年代开始，首先起源与航空、造
13、船业等工程 设计的实际需要而发展起来的样条插值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑 度。在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。1 .三次样条插值问题的基本提法对于给定的一维数据XXcX.X01ny = f (x)_0y.Y求一个三次多项式S(x)满足条件(1) S(x) = y， i = 0, 1, ., n；(2) S(x)具有二阶连续导数，特别在节点X，上应满足连续性要求，即对i = 0, 1,，n有S ( x - 0) = S ( x + 0)、，S(X - 0) = S(X + 0)、.S(X -0) = S(X + 0)ii2.三次样条插值函数给定区间a, b的一个划分: a = x0 X . x = b，设函数y = f (x)在节点x.上的值为y. = f (x，)， i = 0, 1, ., n。如果S(x)于a, b有二阶连续导数，且在每个小区间x., x，+1上是三次多项式，则称S(x) 是节点X。，xn上的三次样条函数。如果S(x)在节点X,上还满足插值条件S(x) = y，i = 0, 1, ., n，(7.2.11)则称S(x)为三次样条插值函数。1对应于划分的三次样条插值函数的表达式为S (x) =a +a x + a2
