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1、第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)
2、方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角
3、形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解双基自测1(人教B版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 m C25 m D. m解析由正弦定理得，又B30AB50(m)答案A2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90 D180解析根据仰角与俯角的定义易知.答案B3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且
4、ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析如图答案B4一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案C5海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是_海里解析由正弦定理，知.解
5、得BC5(海里)答案5考向一测量距离问题【例1】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长审题视点 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.BCD30，BDC105CBD45在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa. (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角
6、，求得该数学模型的解【训练1】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1 km.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.又ABC15在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距离为 km.考向二测量高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角
7、为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB20 m，求山高CD.审题视点 过点C作CEDB，延长BA交CE于点E，在AEC中建立关系解如图，设CDx m，则AEx20 m，tan 60，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD为10(3) m. (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，
8、所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的长审题视点 由于AB5，ADB45，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值在ABC中，AB5，AC9，ACB30，因此可用正弦定理求出sinABC，再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，
9、解得BD.故BD的长为. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理【训练3】 如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.规范解答9如何运用解三角形知识解决实际问题【问题研究】 (1)解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(准确地画出图形)求解检验作答(2)三角形应用题常见的类型：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形
10、中，可用正弦定理或余弦定理解之；实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中【示例】(本题满分12分)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西
11、105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？ (1)分清已知条件和未知条件(待求)(2)将问题集中到一个三角形中(3)利用正、余弦定理求解解答示范 如图，连接A1B2由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，(8分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B2
12、10.因此，乙船的速度为6030(海里/时)(12分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解 【试一试】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos .尝试解答如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.
