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1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择适宜的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还表达在求“点到平面的距离中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求的原那么，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。1S.(本小题満分14分如Rh边长为2的正方体朋CD-砂心2中.歼c与bg相交于点0-(1) 求证：BCt/T面心(2) 求证：
2、BC_L平面妨(3) 求四面体场-BDC、的体积+18.(本小題購分14分)(D证明j连结DM,正方体ABCD-中nAB#DG站B二DGAABCyDy是乎行四边形BC./ADX2分/fiCt在平面必耳口外九4在平面RD内二BCt平面AAD.(2)证明*正方体血CD-召中，月G丄凤C.5分DCLBCDCLC.C:、DC丄平面BCCb議DC丄BC7分/BjC与DC相交于点C:.BC丄平面BDC,*9分3)方体ABCD-AC中$皿临|=月/【也匚|210分点D到平面B耳G的距离等于点D到平面BB.C.C的距离，为広12分二卩埶吟=Vi他二!*2x2二;14分例2.2021中三校联考如图，三棱锥ABP
3、C中，AP丄PC,AC丄BC,M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形。I求证：DM/平面APC;求证：平面ABC丄平面APC；川假设BC=4,AB=20,求三棱锥DBCM的体积.例2.解：I由得，MD是ABP的中位线片1MD/AP2分IVMD面APC,AP面APCMD/面APC4分PnPMB为正三角形,D为PB的中点，DMDPB,5分BAPPB6分又APPC,PBPCPAP面PBC7分BC面PBCAPBC又BCAC,ACAPABC面APC9分BC面ABC平面ABC丄平面APC10分川MD面PBC,MD是三棱锥MDBC的高，且MD=53-11分又在直角三角形PCB中，由PB=10,BC=
4、4,可得PC=22112分于是SBCD1sBCP=221,13分2VDBCM=VMVDBCM=VMDBC13Sh攸7例3.2021二模如图，在底面是菱形的四棱锥SABCD中，SA=AB=2,SBSD2.2.1证明：BD平面SAC;2问：侧棱SD上是否存在点E,使得SB/平面ACE?请证明你的结论；3假设BAD1200，求几何体ASBD的体积。例3.解：1；四棱锥SABCD底面是菱形,BDAC且AD=AB,又SA=AB=2,SBSD22.SA2AB2SB2,SAAD2SD2SAAB,SAAD又ABADA,2分SA平面ABCD,BD平面ABCD，从而SA又SAACA,BD平面SAC。4分2在侧棱S
5、D上存在点E，使得SB/平面ACE,BD3分证明如下：设BDACO，那么0为BD的中点,其中E为SD的中点6分又E为SD的中点，连接0E,OE/SB，又0EOE/SB，又0E平面AEC,SB平面AEC那么0E为SBD的中位线。7分SB/平面ACE10分3当BAD1200时，SAbdA-ABADsin1202222于312分几何体ASBD的体积为VASBDVSABD1SabdSA1323314分点到面的距离、知识点求点到面的距离主要方法：1直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；2转移法：假设直线AB/平面，那么直线AB上任意一点到平面的距离相等;3等体积法：用同一个三
6、棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。、根底热身1、在棱长为a的正方体AG中找出表示以下距离的垂线段直接法：1点A到面BCC1B1的距离；2BD1到面ABCD的距离；3点A到面BDD1B1的距离.(4)求C到平面BDC1的距离。AC转移法：棱长为1的正方体ABCDABCD中，E,F分别是棱AA,BB中点，求点B到平面DEF的距离提示：因为AB/EFAB/平面DEF，所以点B到平面DEF的距离即为点A到平面DEF的距离。作AH距离。作AHED，证明AH平面DEF。AH【活学活用】3、在棱长为1的正方体ABCDABCD中,E,F分别为棱BB和CD的中点，求点F到平面ADE的距离。ADE的距
7、离。提示：法直接法：将三角形扩大到平行四边形，高FH平面ADGE。取CC的中点G,连接DG、EG,过F作垂线FH丄DG。可以证得EG/AD，所以平面ADGE，即平面ADE。可以证得EG丄平面DCCD，所以EG丄FH由FH丄DG、EG丄FH,EGADG=G可知FH丄平面ADGE所以FH即F到平面ADE距离。DG根据勾股定理可以求得：DG21(-)22又知：FDG的面积=s四边形DCCD-saDDF-saDCG-SAFGCFHDG3,510法二：转移法:FP/平面ADE，作PQAE。等积法求点到面的距离:4.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求点B到平面AECF
8、的距离。C等积法VbaefVFAEB三、知识运用例1：如图四棱锥S.63ABCD，ABAD,AB/CD,CD3AB，面SAD面ABCD,M是线段AD上一点，ABAM1,DMDC,SMAD.(1)证明：BM面SMC求点C到面SMB的距离。EX1如图，在边长的菱形ABCDABC60,PC面ABCD，E,F是PA和AB的中点。EF平面PBC；1求证：2求E到平面PBC的距离。中，word.zl.提示：由1知EF/平面PBC,所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离aFHBC,FH即为所求。2例2:2021卷如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,BCD=90。求点A到平面PBC的
9、距离。解析方法一分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，那么:易证DE/CB,DE/平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由1知：BC丄平面PCD，所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC，所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。易知DF=丿2，故点A到平面PBC的距离等于逅。2方法二等体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB/DC,/BCD=90,所以/ABC=90。从而AB=2,BC=1，得ABC的面积Sabc1。1由PD丄平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积VSABC3因为
10、PD丄平面ABCD,DC平面ABCD所以PD丄DC。又PD=DC=1，所以PCPD2DC2由PC丄BC,BC=1,PBC的面积SPBC由VAPBCVPABC,PBC故点A到平面PBC的距离等于2。EX2:2021文数如图4,弧AEC是半径为a的半圆,1，得h2,点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=,5a1证明：EBFD2求点B到平面FED的距离.【解析】1证明：点B和点C为线段AD的三等分点，点B为圆的圆心又E是弧AC的中点，AC为直径，BCEB即BDEB/FC平面BDE,EB平面BDE,FCEB又BD平面FBD,FC平面FBD且BD
11、FCCEB平面FBD又FD平面FBD,EBFD2解：设点B到平面FED的距离即三棱锥BFED的高为h.FC平面BDE,FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由可得BCa由可得BCa，又FB5aFC(5a)2a22a在RtBDE中,BD2a,BEa，故SBDE2a1VFBDESBDE3又EBFC平面13FBD2 32aa,3故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形，-EF6a,DE5a，在RtFCD中，FD5a,-SFED212a,2AFQAVfBDEVbFED即a32AFQAVfBDEVbFED即a32，故hF,21即点B到平面FED的距离为h即点B到平面FED的距离为h4.2
12、1a.21备用题:IIIIAB=2ABc第2题第3题P2BAD第4题第5题E2图6平面PAB的距离D到求点A到平面MCD的距离C图5AB=6,分别求点C与点D到平面PAB的距离3、如图几何体是由正方体ABCD，PD=DC=BC=1CD,ABC=90。，求点AB，C是AB的中点，D为AC的中点6、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB5、圆锥PO如图5所示，图6是它的正（主）视图.圆0的直径为2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD4、如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD,AB平面BCD1求该圆锥的侧面积；2证明：AC平面POD
13、3求点0到平面PAC的距离ABCD-AiBiCiDi与四棱锥E-A1B1C1D1组成，E为CCi的延长线上点，且ECi=CCi,AB=2，M为EBi的中点，求点M到平面ACDi的距离1、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD底面Fword.zl.第6题的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFG的距离7:如图，ABCD是矩形，ABa,PAAD2a,PA面ABCD,Q是PA的中点求P到平面BQDPQHEA*的距离.8、圆锥PO如图5所示，图6是它的正（主）视图.圆0的直径为AB,C是AB的中点，D为AC的中点.1求该圆锥的侧面积；2证明：AC平面POD；3求点0到平面PAC的距离.图5
