《概率论与数理统计初步第一节随机事件与概率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计初步第一节随机事件与概率（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-第七章 概率论与数理统计初步第一节 随机事件与概率11 随机试验与随机事件1随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。另一类现象却呈现出非确定性。例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是正面向上，也可能是反面向上。又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性
2、，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现*种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。概率论与数理统计就是研究和提醒随机现象统计规律性的一门数学学科。定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。概率论中研究的试验具有如下特点：1可以在一样的条件下重复进展；2每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；3每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。例1 掷一枚均匀 了，观察出现的点数。试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。分别用1，2，3，4，5，6表示。例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观
3、察出现正面、反面的情况。试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。分别用正正、反反、正反、反正表示。2随机事件在随机试验中，每一个可能的根本结果称为这个试验的一个根本领件。全体根本领件的集合称为这个试验的样本空间，记为。在例1中，该随机试验有6个根本领件，分别为1，2，3，4，5，6，故该试验的样本空间。例2中的样本空间= 正正，反反，正反，反正。在随机试验中，每一个可能的结果称为随机事件，简称事件，它是由随机试验的样本空间中的局部根本领件组成的集合，常用大写字母A、B、C等表示。如在例1中 出现奇数点就是一随机事
4、件，它是由3个根本领件1，3，5所组成的的一子集。显然，任何试验的每一个根本领件都是随机事件，它们是最简单的随机事件，而一般的随机事件是由假设干个根本领件组成的。在一次试验中，一个随机事件可能发生也可能不发生。在每次试验中，当且仅当组成随机事件的假设干个根本领件中的一个根本领件发生时，称该随机事件发生。例如，在例2中，随机事件两次出现的面不同在一次试验中可能发生也可能不发生，当且仅当组成它的两个根本领件反正和正反中的一个发生时，则两次出现的面不同这一随机事件在这次试验中发生了。有两种极端的情况：一是由样本空间中的所有元素即全体根本领件组成的集合，称为必然事件，通常用表示，它在每次试验中是一定会
5、发生的；另一种是不含任何根本领件的空集合，称为不可能事件，通常用表示，它在每次试验中一定不会发生。在概率论中，我们是通过随机试验中的随机事件来研究随机现象的。3事件间的关系与运算由于事件是样本空间的*种子集，所以事件之间的关系和运算与集合的关系和运算是完全一样的。设随机事件的样本空间为，、是的事件。1事件的包含与相等假设事件的发生必然导致事件发生，则称事作包含事件，记为。显然有。事件间的包含关系如图1.1所示。假设且，则称事件与相等，记为。2事件的和或并事件与事件至少有一个发生所构成的事件称为事件与的和事件，也称为事件与并，记为。事件与的和事件如图1.2阴影局部所示。BA 图1.1 图1.2一
6、般地,推广到个事件,事件中至少有一个发生所构成的事件称为这 个事件的和事件(或并)，记为。3事件的积或交事件和同时发生所构成的事件称为事件与事件的积事件，也称为它们的交。记为或。事件与事件的交如图1.3阴影局部所示。一般地，推广到 个事件，事件同时发生所构成的事件称为这 个事件的积事件或交，记为。 BA 图1.3 图1.44事件的差假设事件发生，而事件不发生所构成的事件，称为事件与事件的差，记为。事件与事件的差如图1.4所示.5互不相容互斥事件 假设事件和的积是不可能事件，即有，则称事件与事件互不相容，或称为互斥事件。如图1.5所示。B一般地，假设个事件中任意两个事件都互不相容，则称这个事件是
7、两两互不相容的，记为。ABA图1.5 图1.66对立事件假设事件和的和事件是必然事件，即，并且事件和的积事件是不可能事件，即，则称事件和是对立事件，或称互补事件，记为或。如图1.6所示。显然，事件的补事件就是从必然事件中减去事件的差事件，即。由以上定义，显然可知，两个互为对立的事件一定是互不相容的，反之不一定成立。4事件运算的性质设、是同一随机试验的事件，则满足以下性质：性质1 交换律 ，；性质2 结合律 ，；性质3 分配律 ，性质4 德摩根律对偶律，性质5 对立律 ，。 例3 掷一骰子的试验，观测出现的点数：以事件表示偶数点数，事件表示小于4的奇数点数，事件表示大于2的点数，用集合语言表示以
8、下事件：解 根据题意知， ， ，例4 随机地抽取三件产品，设表示三件产品中至少有一件是废品，表示三件中至少有两件是废品,表示三件都是正品，问，各表示什么事件.解 =三件都是正品；=三件产品中至多有一件废品；=必然事件；不可能事件；=三件中恰有一件废品。例5 向目标射击两次，用表示事件第一次击中目标，用表示事件第二次击中目标，试用、表示以下各个事件：1只有第一次击中目标； 2仅有一次击中目标；3两次都未击中目标； 4至少一次击中目标。解 显然，同题意可得：表示第一次未击中目标，表示第二次未击中目标。1只有第一次击中目标隐含着第二次未击中目标，因此表示为。2仅有一次击中目标意味着第一次击中目标而第
9、二次未击中目标或者第一次未击中目标而第二次击中目标，因此表示为。3两次都未击中目标显然可以表示为。4至少一次击中目标包括只一次击中目标或两次都击中目标，因此可以表示为或。12 随机事件的概率1 频率定义2 对于事件，假设在次试验中，事件发生的次数为，则称为事件在次试验中发生的频率，称为事件在次试验中的频数。容易理解，频率反映了事件在一次试验中发生的可能性的大小，频率大，则事件在一次试验中发生的可能性大；频率小，则事件在一次试验中发生的可能性小。从频率的定义可看出频率具有以下性质：1非负性：；2标准性：；3可加性：假设，则。假设是中两两互不相容事件，即有，则。当试验次数不多时，频率具有随机性。当
10、试验次数增多时，事件的频率就会呈现出稳定的趋势；而当试验次数充分大时，事件的频率将在一个确定的常数附近作微小的摆动，这就是频率的稳定性。频率的稳定性提醒了随机现象中的规律性即统计规律性。2概率频率的稳定性说明事件在一次试验中发生的可能性大小是事件本身所固有的，因此，我们可以对这种可能性的大小进展度量，为此引进概率的概念。定义3 对于事件，用一个数来度量该事件发生的可能性的大小，这个数称为事件的概率。概率是怎样规定的呢.我们首先介绍概率的统计定义，然后再介绍概率的古典定义。定义4 在同样条件下进展大量的重复试验，当试验次数充分大时，事件发生的频率必然稳定在*一确定的数附近，则称为事件的概率，记为
11、，即有。以上定义称为事件概率的统计定义。根据此定义和频率的有关性质可知概率具有以下性质：性质1；性质2 ；性质3 ；性质4 假设事件与事件互不相容，则。这一性质可以进展推广：设为两两互不相容的个事件，则称以上性质为概率的有限可加性。性质5 对事件及其对立事件，有。性质6 设，为两个事件，则有。称上述性质为概率的加法公式。性质7 设，为两个事件，假设，则有，3古典概型现在我们考虑一类特殊的试验，它具有下面两个特征：1试验的样本空间中的元素只有有限个，即根本领件的数目有限；2试验中的每个根本领件发生的可能性一样。 上述两个特征分别称为有限性和等可能性，具有这两个特征的随机试验称为古典概型。如前面的
12、例1，它的样本空间，而出现每个点数的可能性都是，因此它是一个古典概型。又如抛一枚均匀的硬币，它的根本领件为两个：正面向上和反面向上，而且每个事件发生的可能性都是，故它也是一个古典概型。定义5 设古典概型样本空间所包含的根本领件总数为，事件所包含的根本领件数为，则事件的概率为。根据定义，要计算古典概型事件的概率，必须知道样本空间所包含的根本领件数以及事件所包含的根本领件数。例6 作一随机试验：将一枚均匀的硬币掷三次，观察正、反面出现的情况。求1写出的样本空间；2设事件为恰有一次出现正面，求；3设事件为至少有一次出现反面，求。解 显然，抛硬币三次，出现的正、反面共有以下八种情形。设表示出现正面，表
13、示出现反面，则1的样本空间为 2恰有一次出现正面的事件=，此时，故有。3至少有一次出现正面的事件此时，故有。另外，也可以用以下方法求解：事件，因此有，由概率的性质5可知，=。例7 袋中装有4个红球，2个蓝球，从中任取2个球，计算取出2个球都是红球的概率。解 设表示从袋中取出2个球都是红球的事件。该试验的根本领件总数，事件所包含根本领件个数，故出古典概率公式可知。例8 展览会工作人员将只手表排成一排放入橱窗内，其中3只是同一表厂生产的，求此3只表恰排在一起的概率。解 设事件表示*厂生产的3只表恰排在一起。在该试验中，8只表的每一种排列构成一个根本领件，故根本领件总数.当*厂3只表排在一起，把它们
14、作为1只表与其余5只表一起当作6只表进展排列，种数为；而放在一起的3只表又可作全排列，其种数为。因此，所包含的根本领件数。所以 。1.3 条件概率1. 条件概率在试验中，设，是的事件。前面考虑的都是事件和事件的概率，此外，有时还要考虑在事件已经发生的条件下，事件发生的概率。这种概率称为事件在事件已经发生条件下的条件概率，记为。例如，掷两颗骰子，记=出现点数之和4，=出现成对偶数点，试求：1事件的概率；2事件发生的条件下，事件发生的概率。显然。事件发生，表示可能出现的结果是2，2、4，4、6，6三种，其中属于的只有一种情况，即出现2，2，所以。因此，并且，这三者显然有以下关系=。容易验证，对一般的古典概型，只要，这个等式总是成立的，这启发我们引入下面的一般的条件概率的定义。定义6 设为两个事件，且，称为在事件已发生的条件下，事件发生的条件概率。例9 有一批灯泡，共32个，其中有27个是合格品，有25个是甲厂生产的。在甲厂生产的25个灯泡中有21个是合格品。现在从32个灯泡中随机地取一个，如果取得的灯
